已知函數(shù)數(shù)學公式，且函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x+y+3=0垂直．
（I）求a的值；
（II）如果當x∈（0，1）時，t•g（x）≤f（x）恒成立，求t的取值范圍．

解：（I）函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），
∴f′（1）=a
∵函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x+y+3=0垂直
∴f′（1）=1
∴a=1；
（II）由（I）可得，
當x∈（0，1）時，t•g（x）≤f（x）恒成立，即恒成立
∴tlnx≤x-1（0＜x＜1）恒成立
顯然t≤0時，式子不恒成立
t＞0時，式子tlnx≤x-1（0＜x＜1）可化為tlnx-x+1≤0（0＜x＜1）
構(gòu)造函數(shù)h（x）=tlnx-x+1（0＜x＜1），
∴
令可得0＜x＜t，令可得x＞t，
∴t∈（0，1），h（t）＞h（1）=0，h（x）=tlnx-x+1≤0（0＜x＜1）不恒成立
t∈[1，+∞），x∈（0，1）時，h（x）＜h（1）=0，h（x）=tlnx-x+1≤0（0＜x＜1）恒成立
綜上可得，t的取值范圍是[1，+∞）．
分析：（I）函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），求導函數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義，結(jié)合函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x+y+3=0垂直，可求a的值；
（II）由（I）可得，當x∈（0，1）時，t•g（x）≤f（x）恒成立，即恒成立，進而構(gòu)造函數(shù)h（x）=tlnx-x+1（0＜x＜1），確定函數(shù)的單調(diào)性，分類討論，從而可確定t的取值范圍．
點評：本題重點考查導數(shù)知識的運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查構(gòu)造法的運用，考查分類討論的數(shù)學思想．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

例4、已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的周期函數(shù)，周期T=5，函數(shù)y=f（x）（-1≤x≤1）是奇函數(shù)．又知y=f（x）在[0，1]上是一次函數(shù)，在[1，4]上是二次函數(shù)，且在x=2時函數(shù)取得最小值-5．
①證明：f（1）+f（4）=0；②求y=f（x），x∈[1，4]的解析式；③求y=f（x）在[4，9]上的解析式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a＞0，b∈R），x∈R
（1）若-1為f（x）=0的一個根，且函數(shù)f（x）的值域為[-4，+∞），求f（x）的解析式；
（2）在（1）的條件下，當x∈[-2，2]時，h（x）=f（x）-kx是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
3
ax3+  
1
2
bx2+cx
（1）若函數(shù)f（x）有三個零點x1，x2，x3，且x1+x2+x3=
9
2
，x1x3=-12，且a＞0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f(1)=-
1
2
a，且3a＞2c＞2b，試問：導函數(shù)f′（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)是否有零點，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•房山區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）的定義域是D，若對于任意x1，x2∈D，當x1＜x2時，都有f（x1）≤f（x2），則稱函數(shù)f（x）在D上為非減函數(shù)．設(shè)函數(shù)f（x）在[0，1]上為非減函數(shù)，且滿足以下三個條件：①f（0）=0；  ②f（
x
5
）=
1
2
f（x）；  ③f（1-x）=1-f（x）．則f（
4
5
）=
1
2
1
2
，f（
1
2013
）=
1
32
1
32
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•房山區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）的定義域是D，若對于任意x1，x2∈D，當x1＜x2時，都有f（x1）≤f（x2），則稱函數(shù)f（x）在D上為非減函數(shù)．設(shè)函數(shù)f（x）在[0，1]上為非減函數(shù)，且滿足以下三個條件：
①f（0）=0；  
②f(
x
5
)=
1
2
f(x)；  
③f（1-x）=1-f（x）．
則f(
4
5
)=
1
2
1
2
，f(
1
12
)=
1
4
1
4
．

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