Question

已知函數(shù)f（x）=
（1）它是奇函數(shù)還是偶函數(shù)？并給出證明．
（2）它的圖象具有怎樣的對(duì)稱性？
（3）它在（3，+∞）上是增函數(shù)還是減函數(shù)？并用定義證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再利用奇函數(shù)定義證明函數(shù)為奇函數(shù)；（2）奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；（3）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，先設(shè)?x₁、x₂∈（3，+∞），且x₁＜x₂，再利用作差法比較f（x₁）與f（x₂）的大小，從而證明函數(shù)的單調(diào)性
解答：解：（1）此函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）
f（-x）==-=-f（x）
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù) 
（2）∵函數(shù)f（x）為（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù) 
∴其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
（3）函數(shù)f（x）==x+在（3，+∞）上是增函數(shù)  
 證明：設(shè)?x₁、x₂∈（3，+∞），且x₁＜x₂，
則
=
∵3＜x₁＜x₂
∴
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴在（3，+∞）上是增函數(shù)
即函數(shù)函數(shù)f（x）=在（3，+∞）上是增函數(shù)
點(diǎn)評(píng)：本題考查了奇函數(shù)的定義及其判斷方法，利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和技巧，作差法比較大�。�