Question

【題目】已知函數(shù)，且函數(shù)奇函數(shù)而非偶函數(shù).

（1）寫出的單調(diào)性（不必證明）；

（2）當時，的取值范圍恰為，求與的值；

（3）設(shè)是否存在實數(shù)使得函數(shù)有零點？若存在，求出實數(shù)的值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）當，函數(shù)在單調(diào)遞增，當，函數(shù)在單調(diào)遞減；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)奇偶性求出，即可分析函數(shù)的單調(diào)性；

（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合值域分析參數(shù)的取值；

（3）利用換元法和分離參數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的值域問題求解.

（1）由題：函數(shù)，且函數(shù)奇函數(shù)而非偶函數(shù).

必有，，可得：,

即，解得或-2

當時，，滿足題意；

當時，，不滿足題意；

由得函數(shù)定義域，

所以

當，函數(shù)在單調(diào)遞增，當，函數(shù)在單調(diào)遞減；

（2）由（1），，

，所以，

令，=1，，所以，

當時，，所以

由（1）函數(shù)在單調(diào)遞增，

時，的取值范圍恰為，必有，與題矛盾不合題意；

當時，，此時在單調(diào)遞減，

所以當時，的取值范圍恰為，

由題：，解得：

所以當時，的取值范圍恰為，

則；

（3）即，

存在實數(shù)使得函數(shù)有零點，

即在有零點，

令，

問題轉(zhuǎn)化為：在有實數(shù)根，

若顯然不成立；

所以，方程變形為在有實數(shù)根，

看成函數(shù)在的值域問題，，

根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得：，

所以實數(shù)m的取值范圍.