Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+5，記f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）．
（1）若曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為3，且x=時(shí)，y=f（x）有極值，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）在（I）的條件下，求函數(shù)f（x）在[-4，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

解：（1）由f（x）=x³+ax²+bx+5，求導(dǎo)數(shù)得f'（x）=3x²+2ax+b，
∵在函數(shù)f（x）圖象上一點(diǎn)P（1，f（1））處切線的斜率為3，
∴f'（1）=3，即3+2a+b=3，化簡(jiǎn)得2a+b=0①；
∵y=f（x）在x=時(shí)有極值，∴f'（）=0，即4a+3b+4=0 ②．
由①②聯(lián)立解得a=2，b=-4，
∴f（x）=x³+2x²-4x+5；
（2）由（1）知f'（x）=3x²+4x-4=（x+2）（3x-2）
∴函數(shù)在x=-2及x=時(shí)有極值
∵f（-4）=-11，f（-2）=13，f（）=，f（1）=6
∴函數(shù)f（x）在[-4，1]上的最大值為13，最小值為-11．
分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為3，且x=時(shí)，y=f（x）有極值，建立兩個(gè)方程，即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）確定函數(shù)的極值點(diǎn)，利用函數(shù)的最值在極值點(diǎn)處及端點(diǎn)處取得，即可得到結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的極值與最值，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．