Question

（1）已知兩圓x²+y²-10x-10y=0，x²+y²+6x-2y-40=0，求它們的公共弦所在直線的方程；
（2）已知圓M：x²+（y-2）²=1，Q是x軸上的動點，QA，QB分別切圓M于A，B兩點，求動弦AB的中點P的軌跡方程．

Answer 1

考點：圓方程的綜合應用,軌跡方程

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）將兩個圓進行配方得到圓的標準方程，利用圓心和半徑之間的關(guān)系兩圓的位置關(guān)系．
（2）利用點M、P、Q在一條直線上，結(jié)合由射影定理，可得中點P的軌跡方程．

解答： 解：（1）兩圓的標準方程為（x-5）²+（y-5）²=50，（x+3）²+（y-1）²=50，
所以兩圓的圓心分別為A（5，5），B（-3，1），半徑分別為r=R=5

2

．
兩圓圓心之間的距離為|AB|=

(5+3)2+(5-1) 2

=4

5

，
因為r-R＜4

5

＜r+R，所以兩圓相交．
將圓的方程進行相減得2x+y-5=0，
即它們的公共弦所在直線的方程2x+y-5=0．
（2）連接MB，MQ，設(shè)P（x，y），Q（a，0），點M、P、Q在一條直線上，當a≠0時，得

2

-a

=

2-y

-x

．②
由射影定理有|MB|²=|MP|•|MQ|，即

x2+(y-2)2

•

a2+4

=1．③
由②及③消去a，并注意到y(tǒng)＜2，可得x²+（y-

7

4

）²=

1

16

（y＜2）．
當a=0時，P點為（0，

3

2

），滿足方程x²+（y-

7

4

）²=

1

16

（y＜2）．
∴中點P的軌跡方程為x²+（y-

7

4

）²=

1

16

（y＜2）．

點評：本題主要考查直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系的判斷，考查軌跡方程的求解，考查學生的計算能力，屬于中檔題．．