Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=（1+）a_n+．
（1）設(shè)b_n=，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知得=+，即b_n+1=b_n+，由此能夠推導(dǎo)出所求的通項(xiàng)公式．
（2）由題設(shè)知a_n=2n-，故S_n=（2+4+…+2n）-（1++++…+），設(shè)T_n=1++++…+，由錯(cuò)位相減法能求出T_n=4-．從而導(dǎo)出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．
解答：解：（1）由已知得b₁=a₁=1，且=+，
即b_n+1=b_n+，從而b₂=b₁+，
b₃=b₂+，
b_n=b_n-1+（n≥2）．
于是b_n=b₁+++…+=2-（n≥2）．
又b₁=1，
故所求的通項(xiàng)公式為b_n=2-．
（2）由（1）知a_n=2n-，
故S_n=（2+4++2n）-（1++++…+），
設(shè)T_n=1++++…+，①
T_n=+++…++，②
①-②得，
T_n=1++++…+-
=-=2--，
∴T_n=4-．
∴S_n=n（n+1）+-4．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．