已知函數(shù)f(x)=xlnx.
(Ⅰ)求f(x)的最小值;
(Ⅱ)若對(duì)所有x≥1都有f(x)≥ax-1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】分析:(1)先求出函數(shù)的定義域,然后求導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而可求出最小值.
(2)將f(x)≥ax-1在[1,+∞)上恒成立轉(zhuǎn)化為不等式對(duì)于x∈[1,+∞)恒成立,然后令,對(duì)函數(shù)g(x)進(jìn)行求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)可判斷其單調(diào)性進(jìn)而求出最小值,使得a小于等于這個(gè)最小值即可.
解答:解:(Ⅰ)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=1+lnx.
令f'(x)>0,解得;令f'(x)<0,解得
從而f(x)在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.
所以,當(dāng)時(shí),f(x)取得最小值
(Ⅱ)依題意,得f(x)≥ax-1在[1,+∞)上恒成立,
即不等式對(duì)于x∈[1,+∞)恒成立.
,

當(dāng)x>1時(shí),
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024185613719826338/SYS201310241856137198263019_DA/11.png">,
故g(x)是(1,+∞)上的增函數(shù),
所以g(x)的最小值是g(1)=1,
從而a的取值范圍是(-∞,1].
點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系、根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)下放到高中的內(nèi)容,是每年必考的熱點(diǎn)問題,要給予重視.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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