Question

已知直線x-2y+2=0經(jīng)過橢圓的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D，橢圓C的右頂點(diǎn)為B，點(diǎn)S是橢圓C上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線AB，BS與直線分別交于M，N兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求線段MN的長度的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知得，橢圓C的左頂點(diǎn)為A（-2，0），上頂點(diǎn)為D（0，1，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)直線AS的方程為y=k（x+2），從而．由題設(shè)條件可以求出，所以，
再由均值不等式進(jìn)行求解．
解答：解：（1）由已知得，橢圓C的左頂點(diǎn)為A（-2，0），上頂點(diǎn)為D（0，1），
∴a=2，b=1，
故橢圓C的方程為．
（2）直線AS的斜率k顯然存在，且k＞0，故可設(shè)直線AS的方程為y=k（x+2），從而．
由得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0．
設(shè)S（x₁，y₁），則得，從而．
即，又B（2，0）
由得，∴，
故，
又k＞0，∴=．當(dāng)且僅當(dāng)，即k=時(shí)等號成立
∴k=時(shí)，線段MN的長度取最小值．
點(diǎn)評：本題考查橢圓與直線的位置關(guān)系，解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用．