Question

5．一次數(shù)學考試共有12道選擇題，每道選擇題都有4個選項，其中有且只有一個是正確的，評分標準規(guī)定：“每題只有一個正確選項，答對得5分，不答或答錯不得分”．某考生已確定有8道題的答案是正確的，其余題中：有兩道題都可判斷兩個選項是錯誤的，另兩道題都可判斷有一個選項是錯誤的，求該考生
（Ⅰ）得60分的概率；
（Ⅱ）所得分數(shù)ξ的分布列及其數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)“得60分”為事件A，利用相互獨立事件概率乘法公式能求出得60分的概率．
（Ⅱ）ξ的可能取值為40，45，50，55，60，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學期望．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)“得60分”為事件A，
∴得60分的概率P（A）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{36}$．
（Ⅱ）ξ的可能取值為40，45，50，55，60，
$P（ξ=40）=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{1}{9}$，
$P（ξ=45）=C_2^1\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}C_2^1\frac{1}{3}×\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$，
$P（ξ=50）=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}+C_2^1\frac{1}{2}×\frac{1}{2}C_2^1\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{13}{36}$，
$P（ξ=55）=C_2^1\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+C_2^1\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$，
$P（ξ=60）=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{36}$．
∴ξ的分布列為：

ξ	40	45	50	55	60
P	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{13}{36}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{36}$

$Eξ=\frac{1}{9}×40+\frac{1}{3}×45+\frac{13}{36}×50+\frac{1}{6}×55+\frac{1}{36}×60=\frac{145}{3}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．