【題目】已知函數(shù),.
(1)求曲線在點處的切線方程;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)判斷函數(shù)的零點個數(shù).
【答案】(1)(2)答案見解析(3)答案見解析
【解析】
(1)設曲線在點,處的切線的斜率為,可求得,,利用直線的點斜式方程即可求得答案;
(2)由(Ⅰ)知,,分時,,三類討論,即可求得各種情況下的的單調(diào)區(qū)間為;
(3)分與兩類討論,即可判斷函數(shù)的零點個數(shù).
(1),
,
設曲線在點,處的切線的斜率為,
則,
又,
曲線在點,處的切線方程為:,即;
(2)由(1)知,,
故當時,,所以在上單調(diào)遞增;
當時,,;,,;
的遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為,;
當時,同理可得的遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為,;
綜上所述,時,單調(diào)遞增為,無遞減區(qū)間;
當時,的遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為,;
當時,的遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為,;
(3)當時,恒成立,所以無零點;
當時,由,得:,只有一個零點.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】函數(shù)有極值,且導函數(shù)的極值點是的零點.(極值點是指函數(shù)取極值時對應的自變量的值)
(1)求關于的函數(shù)關系式,并寫出定義域;
(2)若,這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知橢圓C:(a>b>0)的兩個焦點分別為F1(-,0)、F2(,0).點M(1,0)與橢圓短軸的兩個端點的連線相互垂直.
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知點N的坐標為(3,2),點P的坐標為(m,n)(m≠3).過點M任作直線l與橢圓C相交于A、B兩點,設直線AN、NP、BN的斜率分別為k1、k2、k3,若k1+k3=2k2,試求m,n滿足的關系式.
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【題目】已知斜率為1的直線與橢圓交于,兩點,且線段的中點為,橢圓的上頂點為.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設直線與橢圓交于兩點,若直線與的斜率之和為2,證明:過定點.
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【題目】在疫情防控過程中,某醫(yī)院一次性收治患者127人.在醫(yī)護人員的精心治療下,第15天開始有患者治愈出院,并且恰有其中的1名患者治愈出院.如果從第16天開始,每天出院的人數(shù)是前一天出院人數(shù)的2倍,那么第19天治愈出院患者的人數(shù)為_______________,第_______________天該醫(yī)院本次收治的所有患者能全部治愈出院.
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【題目】如圖,在四棱錐中,側面是等邊三角形,且平面平面,為的中點,,,.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)直線上是否存在點,使得平面?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
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【題目】盒內(nèi)有大小相同的9個球,其中2個紅色球,3個白色球,4個黑色球. 規(guī)定取出1個紅色球得1分,取出1個白色球得0分,取出1個黑色球得-1分 . 現(xiàn)從盒內(nèi)任取3個球
(Ⅰ)求取出的3個球中至少有一個紅球的概率;
(Ⅱ)求取出的3個球得分之和恰為1分的概率;
(Ⅲ)設為取出的3個球中白色球的個數(shù),求的分布列.
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【題目】已知點為拋物線的焦點,點在拋物線上,過點的直線交拋物線于兩點,線段的中點為,且滿足.
(1)若直線的斜率為1,求點的坐標;
(2)若,求四邊形面積的最大值.
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【題目】已知橢圓的左、右焦點,,是橢圓上的動點,且面積的最大值為.
(1)求橢圓的方程及離心率;
(2)若是橢圓的左、右頂點,直線與橢圓在點處的切線交于點,當點在橢圓上運動時,求證:以為直徑的圓與直線恒相切.
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