設(shè)(a,b為實(shí)常數(shù)).
(1)當(dāng)a=b=1時(shí),證明:f(x)不是奇函數(shù);
(2)設(shè)f(x)是奇函數(shù),求a與b的值;
(3)求(2)中函數(shù)f(x)的值域.
【答案】分析:(1)證明不是奇函數(shù),可用特殊值法;如證明:f(-1)≠-f(1),f(x)不是奇函數(shù);
(2)利用奇函數(shù)定義f(-x)=-f(x),再用待定系數(shù)法求解;
(3)先將原函數(shù)式化成:,將2x看成整體,利用其范圍結(jié)合不等式的性質(zhì)即可求得函數(shù)f(x)的值域.
解答:解:(1),
,,
所以f(-1)≠-f(1),f(x)不是奇函數(shù);(4分)
(2)f(x)是奇函數(shù)時(shí),f(-x)=-f(x),
對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立,
化簡(jiǎn)整理得(2a-b)•22x+(2ab-4)•2x+(2a-b)=0,這是關(guān)于x的恒等式,
所以所以;(8分)
(3),因?yàn)?x>0,所以2x+1>1,,
從而;所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025123140809986772/SYS201310251231408099867017_DA/11.png">.(13分)
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.
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(1)當(dāng)a=b=1時(shí),證明:f(x)不是奇函數(shù);
(2)設(shè)f(x)是實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù),求a與b的值;
(3)(理) 當(dāng)f(x)是實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)時(shí),證明對(duì)任何實(shí)數(shù)x、c都有f(x)<c2-3c+3成立.
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