Question

已知函數(shù)．
（I）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若曲線y=f（x）上兩點A、B處的切線都與y軸垂直，且線段AB與x軸有公共點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先對函數(shù)f（x）進行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于0原函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)函數(shù)小于0原函數(shù)單調(diào)遞減進行討論．
（2）由題意可值點AB應(yīng)是函數(shù)f（x）的極值點，再根據(jù)線段AB與x軸有公共點可知以，從而得到答案．
解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)知．
令．
當(dāng)（i）a＞0時，
若x∈（-∞，0），則f'（x）＞0，
所以f（x）在區(qū)間上是增函數(shù)；
若，則f'（x）＜0，
所以f（x）在區(qū)間上是減函數(shù)；
若，則f'（x）＞0，
所以f（x）在區(qū)間上是增函數(shù)；
（ii）當(dāng)a＜0時，
若，則f'（x）＜0，
所以f（x）在區(qū)間上是減函數(shù)；
若，則f'（x）＜0，
所以f（x）在區(qū)間上是減函數(shù)；
若，則f'（x）＞0，
所以f（x）在區(qū)間上是增函數(shù)；
若x∈（0，+∞），則f'（x）＜0，
所以f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）的討論及題設(shè)知，曲線y=f（x）上的兩點A、B的縱坐標(biāo)為函數(shù)的極值，
且函數(shù)y=f（x）在處分別是取得極值，．
因為線段AB與x軸有公共點，所以．
即．
所以．
故（a+1）（a-3）（a-4）≤0，且a≠0．
解得-1≤a＜0或3≤a≤4．
即所求實數(shù)a的取值范圍是[-1，0）∪[3，4]．
點評：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負和原函數(shù)的增減性、極值點的關(guān)系．屬中檔題．導(dǎo)數(shù)是高考的必考點，要給予重視．