已知函數(shù)
(I)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若曲線y=f(x)上兩點A、B處的切線都與y軸垂直,且線段AB與x軸有公共點,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】分析:(1)先對函數(shù)f(x)進行求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于0原函數(shù)單調(diào)遞增,導(dǎo)函數(shù)小于0原函數(shù)單調(diào)遞減進行討論.
(2)由題意可值點AB應(yīng)是函數(shù)f(x)的極值點,再根據(jù)線段AB與x軸有公共點可知以,從而得到答案.
解答:解:(Ⅰ)由題設(shè)知

當(dāng)(i)a>0時,
若x∈(-∞,0),則f'(x)>0,
所以f(x)在區(qū)間上是增函數(shù);
,則f'(x)<0,
所以f(x)在區(qū)間上是減函數(shù);
,則f'(x)>0,
所以f(x)在區(qū)間上是增函數(shù);
(ii)當(dāng)a<0時,
,則f'(x)<0,
所以f(x)在區(qū)間上是減函數(shù);
,則f'(x)<0,
所以f(x)在區(qū)間上是減函數(shù);
,則f'(x)>0,
所以f(x)在區(qū)間上是增函數(shù);
若x∈(0,+∞),則f'(x)<0,
所以f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù).
(Ⅱ)由(Ⅰ)的討論及題設(shè)知,曲線y=f(x)上的兩點A、B的縱坐標(biāo)為函數(shù)的極值,
且函數(shù)y=f(x)在處分別是取得極值,
因為線段AB與x軸有公共點,所以

所以
故(a+1)(a-3)(a-4)≤0,且a≠0.
解得-1≤a<0或3≤a≤4.
即所求實數(shù)a的取值范圍是[-1,0)∪[3,4].
點評:本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負和原函數(shù)的增減性、極值點的關(guān)系.屬中檔題.導(dǎo)數(shù)是高考的必考點,要給予重視.
練習(xí)冊系列答案
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(本題滿分10分)已知函數(shù)

 (I)討論的單調(diào)性;

 (II)設(shè),證明:當(dāng)時,;

 (III)若函數(shù)的圖像與x軸交于AB兩點,線段AB中點的橫坐標(biāo)為x0,

     證明:x0)<0.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年浙江省高三上學(xué)期期中考試理科數(shù)學(xué) 題型:填空題

(本小題滿分14分)

已知函數(shù)

(I)討論的單調(diào)性;

(II)設(shè) .當(dāng)時,若對任意,存在,(),使,求實數(shù)的最小值.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年內(nèi)蒙古巴彥淖爾市高三第一學(xué)期期中考試理科數(shù)學(xué) 題型:解答題

(本題滿分12分)已知函數(shù)

   (I)討論的單調(diào)性;

   (II)設(shè),證明:當(dāng)時,;

   (III)若函數(shù)的圖像與x軸交于A,B兩點,線段AB中點的橫坐標(biāo)為x0,證明:x0)<0.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年黑龍江省高三12月月考試數(shù)學(xué)理卷 題型:解答題

(本小題滿分12分)

已知函數(shù):

(I) 討論函數(shù)的單調(diào)性;

(II)若函數(shù)的圖象在點處的切線的傾斜角為,對于任意的

,若函數(shù)在區(qū)間上有最值,求實數(shù)的取值范圍;

(Ⅲ)求證:.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010屆沈陽市高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題

已知函數(shù),.

(I)討論的單調(diào)性.

(II)當(dāng)時,討論關(guān)于的方程的實根的個數(shù).

 

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