Question

8．已知實(shí)數(shù)x，y滿足條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y+5≥0}\\{x+y≥0}\\{x≤3}\end{array}\right.$，z=x+yi（i為虛數(shù)單位），則|z-1+2i|的最小值是（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． 2
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 本題本質(zhì)是線性規(guī)劃問題，先作出不等式組對(duì)應(yīng)的區(qū)域，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義將|z-1+2i|的最大值和最小值轉(zhuǎn)化成定點(diǎn)與區(qū)域中的點(diǎn)的距離最大與最小的問題利用圖形求解．

解答 解：如圖，作出$\left\{\begin{array}{l}x-y+5≥0\\ x+y≥0\\ x≤3\end{array}\right.$對(duì)應(yīng)的區(qū)域，由于z=x+yi（i為虛數(shù)單位），
所以|z-1+2i|表示點(diǎn)（x，y）與D（1，-2）兩點(diǎn)之間的距離，
由圖象可知|z-1+2i|的最小值為D到直線x+y=0的距離，
即d=$\frac{|1-2|}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一定點(diǎn)與區(qū)域中的一動(dòng)點(diǎn)距離最值的問題，利用線性規(guī)劃的知識(shí)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．