Question

不恒為0的函數(shù)f（x）的定義域為R．對于定義域內任意x₁，x₂，都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
（1）求f（1）及f（-1）的值；
（2）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（3）若f（4）=1，f（3x+1）+f（2x-6）≤2，且f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用賦值法，通過x=1，求解f（1）的值，通過x=-1，求解f（-1）的值；
（2）利用已知條件，令x₁=x₂=x，轉化為f（x）=f（-x），即可判斷f（x）的奇偶性；
（3）利用f（4）=1，求出2對應函數(shù)自變量，通過f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，得到關于x的不等式，然后求其取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
∴f（1）=f（1•1）=f（1）+f（1）=0；故f（1）=0，
同理f（-1•1）=f（-1）+f（1）=0，得f（-1）=0．
（2）對任意x≠0，f（x²）=f（x•x）=f（-x•-x）
⇒f（x）+f（x）=f（-x）+f（-x）
⇒2f（x）=2f（-x）
故f（x）=f（-x），函數(shù)f（x）為偶函數(shù)．
（注：此處證法不唯一）
（3）因f（4）=1；故2=1+1=f（4）+f（4）=f（16）
又f（3x+1）+f（2x-6）=f（（3x+1）（2x-6））≤2=f（16）；
因f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，故|（3x+1）（2x-6）|≤16
解得

5

3

≤x≤

11

3

或-1≤x≤1．
x的取值范圍：{x|

5

3

≤x≤

11

3

或-1≤x≤1}．（不寫集合不扣分）

點評：本題考查抽象函數(shù)的應用，賦值法的應用，函數(shù)的奇偶性的判斷，函數(shù)單調性的應用，考查分析問題解決問題的能力以及計算能力．