Question

已知的圖像過原點，且在點處的切線與軸平行，對任意，都有.

(1)求函數(shù)在點處切線的斜率；

(2)求的解析式；

(3)設(shè)，對任意，都有.求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

（1）1；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，知所求切線的斜率為，然后根據(jù)：對任意，都有，即可得到，進而可得；（2）先由函數(shù)圖像過原點確定，進而由導(dǎo)數(shù)的幾何意義與（1）中的導(dǎo)數(shù)值，可列出方程組即，解出，代入不等式得到，該不等式恒成立，可得，從中就可以確定的值，進而可寫出函數(shù)的解析式；（3）先將：對任意，都有等價轉(zhuǎn)化為，先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值為，于是變成了對恒成立問題，采用分離參數(shù)法得到時，恒成立，進一步等價轉(zhuǎn)化為，進而再利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的最值即可.

試題解析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，函數(shù)在點處切線的斜率就是

因為對任意，都有

所以

所以即函數(shù)在點處切線的斜率為1

（2）依題意知，而

因為函數(shù)的圖像在點處的切線與軸平行

所以 ①

而 ②

由①②可解得

因為對任意，都有即恒成立

所以

（3）由（2）得

所以

當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，此時

當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，此時

因為

所以當時，

因為對任意，都有

所以，都有即，所以

令

所以

關(guān)注到，當時，，此時單調(diào)遞減

當時，，此時單調(diào)遞增

所以

所以.

考點：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2.不等式的恒成立問題；3.函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)；4.分離參數(shù)法.