分析:設(shè)p>0,q>0.又設(shè)y2=2px的內(nèi)接三角形頂點為A1(x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3),分別代入拋物線方程,依題意,設(shè)A1A2,A2A3與拋物線x2=2qy相切,要證A3A1也與拋物線x2=2qy相切,由x2=2qy在原點O處的切線是y2=2px的對稱軸,可知原點O不能是所設(shè)內(nèi)接三角形的頂點推斷三個頂點都不能是(0,0);故可設(shè)直線A1A2的方程,進而得A1A2方程代入拋物線方程,整理后根據(jù)判別式等于0,求得2p2q+y1y2(y1+y2)=0同理由于A2A3與拋物線x2=2qy相切,A2A3也不能與Y軸平行,即x2≠x3,y2≠-y3,同樣得到2p2q+y2y3(y2+y3)=0把y2=-y1-y3代入2p2q+y1y2(y1+y2)=0整理后可說明A3A1與拋物線x2=2qy的兩個交點重合,進而可判斷只要A1A2,A2A3與拋物線x2=2qy相切,則A3A1也與拋物線x2=2qy相切.
解答:解:不失一般性,設(shè)p>0,q>0.又設(shè)y
2=2px的內(nèi)接三角形頂點為
A
1(x
1,y
1),A
2(x
2,y
2),A
3(x
3,y
3)
因此y
12=2px
1,y
22=2px
2,y
32=2px
3其中y
1≠y
2,y
2≠y
3,y
3≠y
1.
依題意,設(shè)A
1A
2,A
2A
3與拋物線x
2=2qy相切,
要證A
3A
1也與拋物線x
2=2qy相切
因為x
2=2qy在原點O處的切線是y
2=2px的對稱軸,
所以原點O不能是所設(shè)內(nèi)接三角形的頂點
即(x
1,y
1),(x
2,y
2),(x
3,y
3),
都不能是(0,0);又因A
1A
2與x
2=2qy相切,
所以A
1A
2不能與Y軸平行,即x
1≠x
2,y
1≠-y
2,
直線A
1A
2的方程是
y-y1=(x-x1),
∵y
22-y
12=(y
2-y
1)(y
2+y
1)=2p(x
2-x
1).
∴A
1A
2方程是y=
x+.A
1A
2與拋物線x
2=2qy交點的橫坐標(biāo)滿足
x2-x-=0,
由于A
1A
2與拋物線x
2=2qy相切,上面二次方程的判別式
△=
(-)2+4()=0.
化簡得2p
2q+y
1y
2(y
1+y
2)=0(1)
同理由于A
2A
3與拋物線x
2=2qy相切,A
2A
3也不能與Y軸平行,即
x
2≠x
3,y
2≠-y
3,同樣得到2p
2q+y
2y
3(y
2+y
3)=0(2)
由(1)(2)兩方程及y
2≠0,y
1≠y
3,得y
1+y
2+y
3=0.
由上式及y
2≠0,得y
3≠-y
1,也就是A
3A
1也不能與Y軸平行
今將y
2=-y
1-y
3代入(1)式得:2p
2q+y
3y
1(y
3+y
1)=0(3)
(3)式說明A
3A
1與拋物線x
2=2qy的兩個交點重合,
即A
3A
1與拋物線x
2=2qy相切
所以只要A
1A
2,A
2A
3與拋物線x
2=2qy相切,
則A
3A
1也與拋物線x
2=2qy相切.
點評:本題主要考查拋物線的應(yīng)用和直線與拋物線的關(guān)系.考查了學(xué)生綜合分析問題和運算能力.