Question

已知函數(shù)f（x）=|3^x-1|，g（x）=|a•3^x-9|（a＞0），x∈R，且函數(shù)h(x)=

g(x)，f(x)≥g(x) f(x)，f(x)＜g(x)

（1）當2≤a＜9時，設函數(shù)h（x）=g（x）所對應的自變量取值區(qū)間長度為d（閉區(qū)間[m，n]的長度定義為n-m），試求d的表達式并求d的最大值；
（2）是否存在這樣的a，使得對任意x≥2，都有h（x）=g（x），若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）本問中借鑒上問（1）的解題思想，由具體到一般，方法依然是針對a的范圍條件，作差比較出f₁（x）與f₂（x）的大小，在2≤a＜9時，自變量x取哪些值時f（x）=f₂（x），進而確定求出f（x）的解析式，對參數(shù)的討論要結(jié)合具體的數(shù)值，從直觀到抽象采取分類策略．
（2）本問利用（1）的結(jié)論容易求解，需要注意的是等價轉(zhuǎn)化思想的應用，分類討論思想重新在本問中的體現(xiàn)．

解答：解：（1）h(x)=

g(x)，f(x)≥g(x) f(x)，f(x)＜g(x)

，
若h（x）=g（x），則g（x）≤f（x），即|a•3^x-9|≤|3^x-1|，
當0＜x＜log3

9

a

時，由于a•3^x-9＜0，3^x-1＞0，
∴不等式|a•3^x-9|≤|3^x-1|，即為9-a•3^x≤3^x-1，解得x≥log3

10

a+1

，
故x的取值范圍為log3

10

a+1

≤x＜log3

9

a

；
當x≥log3

9

a

時，由于a•3^x-9＞0，3^x-1＞0，
∴不等式|a•3^x-9|≤|3^x-1|，即為a•3^x-9≤3^x-1，解得x≤log3

8

a-1

，
故x的取值范圍為log3

9

a

≤x≤log3

8

a-1

．
綜上可得，x∈[log3

10

a+1

，log3

8

a-1

]時，h（x）=g（x），
故d=log3

8

a-1

-log3

10

a+1

=log3[

4

5

(1+

2

a-1

)]，
∵d=log3[

4

5

(1+

2

a-1

)]在[2，9）上為單調(diào)遞減函數(shù)，
∴當a=2時，d取得最大值為d=log3

12

5

；
（2）當x∈[2，+∞）時，h（x）=g（x）恒成立，等價于|a•3^x-9|≤|3^x-1|，對x∈[2，+∞）恒成立，（*）
①當a≥1時，log3

9

a

≤2，
∴當x≥2時，a•3^x-9≥a•3log3

9

a

-9=0，則（*）可化為a•3^x-9≤3^x-1，即a≤1+

8

3x

，
又當x≥2時，1+

8

3x

＞1，
∴a≤1，
故a=1適合題意；
②當0＜a＜1時，log3

9

a

＞2，
（i）當x＞log3

9

a

時，（*）可化為a•3^x-9≤3^x-1，即a≤1+

8

3x

，又1+

8

3x

＞1，
∴a≤1，
故0＜a＜1符合題意；
（ii）當x=log3

9

a

時，（*）可化為0≤3^x-1=

9

a

-1，
∴a∈R，
故0＜a＜1符合題意；
（iii）當2≤x＜log3

9

a

時，（*）可化為9-a•3^x≤3^x-1，即a≥

10

3x

-1，而

10

3x

-1≤

1

9

，
∴a≥

1

9

，
故

1

9

≤a＜1符合題意．
由（i）（ii）（iii）可得，

1

9

≤a＜1符合題意．
綜合①②知，滿足題意的a存在，且a的取值范圍是

1

9

≤a≤1．

點評：本題考查分段函數(shù)的有關(guān)概念，函數(shù)求值的問題；對函數(shù)的導數(shù)的概念亦有所考查，含參數(shù)的數(shù)學問題的討論，注重對分類討論思想，數(shù)形結(jié)合思想的考查，考查了對近年來高考真題中出現(xiàn)的有關(guān)恒成立問題，存在性問題的求解策略，對函數(shù)知識的綜合性解題能力有很高的要求，屬于壓軸題的題目難度．本題的求解策略是細讀題意，精確分析采取有難到易，各點擊破的思想，同時注意解題思想的應用．屬于難題．