Question

當(dāng)a＞0，a≠1時(shí)，函數(shù)f（x）=log_a（x-1）+1的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx-y+n=0上，則4^m+2ⁿ的最小值是

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)函數(shù)解析式推斷出函數(shù)圖象恒過（2，1）點(diǎn)，求得A點(diǎn)坐標(biāo)，把A點(diǎn)代入直線方程求得m和n的關(guān)系式，進(jìn)而根據(jù)均值不等式求得4^m+2ⁿ的最小值．

解答：解：整理函數(shù)解析式得f（x）-1=log_a（x-1），故可知函數(shù)f（x）的圖象恒過（2，1）即A（2，1），
故2m+n=1．
∴4^m+2ⁿ≥2

4m•2n

=2

22m+n

=2

2

．
當(dāng)且僅當(dāng)4^m=2ⁿ，即2m=n，
即n=

1

2

，m=

1

4

時(shí)取等號(hào)．
∴4^m+2ⁿ的最小值為2

2

．
故答案為：2

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．解題的時(shí)候注意等號(hào)成立的條件．