Question

已知線段AB的兩個端點A、B分別在x軸和y軸上滑動，|AB|=4，點C在線段AB上且

BC

=3

CA

．
（I）求點C的軌跡方程；
（Ⅱ）過點（1，0）作兩條互相垂直的直線分別交點C的軌跡于D、E和F、G，線段DE和FG的中點分別為M、N，問直線MN是否過定點？若是，求出定點的坐標；若否，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設點C的坐標為（x，y），A（a，0），B（0，b），由

BC

=3

CA

，得a=

4x

3

，b=4y，且a²+b²=16，由此能求出點C的軌跡方程．
（Ⅱ）設直線DE的方程為y=k（x-1），代入點C的軌跡方程，得到（1+9k²）x²-18k²x+9k²-9=0，從而DE的中點坐標為（

9k2

1+9k2

，

-k

1+9k2

），點N的坐標（

9

9+k2

，

k

9+k2

），進而直線MN的方程為

9(1-k2)

10k

y=x-

9

10

，由此能求出直線MN過定點（

9

10

，0

解答： 解：（Ⅰ）設點C的坐標為（x，y），A（a，0），B（0，b），
由

BC

=3

CA

，得a=

4x

3

，b=4y，
且a²+b²=16，
∴

16

9

x2+16y2=16，
∴點C的軌跡方程為

x2

9

+y2=1．
（Ⅱ）若兩直線斜率均存在，設直線DE的方程為y=k（x-1），
代入點C的軌跡方程，得到：（1+9k²）x²-18k²x+9k²-9=0，
∴DE的中點坐標為M（

9k2

1+9k2

，

-k

1+9k2

），
將上式中的k用-

1

k

代換，得到點N的坐標（

9

9+k2

，

k

9+k2

），
由點M，N的坐標得到直線MN的方程為

9(1-k2)

10k

y=x-

9

10

，
∴直線MN過定點（

9

10

，0），
若兩直線中有一條斜率不存在，則由題意知直線MN為x軸，
上述結論仍然成立，
∴直線MN過定點（

9

10

，0）．

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查直線是否過定點坐標的判斷與求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．