Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為s_n，點(diǎn)(n，

sn

n

)（n∈N⁺）均在函數(shù)y=3x-2的圖象上．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

3

anan+1

，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求使得T_n＞

m

20

對(duì)所有n∈N⁺都成立的最大正整數(shù)m．

Answer 1

分析：（I）先求出S_n，然后利用當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1代入求解，最后驗(yàn)證首項(xiàng)即可；
（II）先將通項(xiàng)裂項(xiàng)再進(jìn)行求和，再求使得T_n＞

m

20

對(duì)所有n∈N⁺都成立的最大正整數(shù)m．

解答：解：（I）依題意得，

sn

n

=3n-2，即S_n=3n²-2n．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（3n²-2n）-[3（n-1）²-2（n-1）]=6n-5；
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=3×1²-2×1=1=6×1-5．
所以a_n=6n-5（n∈N^*）．
（II）由（I）得b_n=

3

anan+1

=

3

(6n+5)(6n+1)

=

1

2

(

1

6n-5

-

1

6n+1

)，
∴T_n=

1

2

[(1-

1

7

)+(

1

7

-

1

13

)+…+(

1

6n-5

-

1

6n+1

)]=

1

2

(1-

1

6n+1

)．
因此，要求使得T_n＞

m

20

對(duì)所有n∈N⁺都成立的最大正整數(shù)
即使得

1

2

(1-

1

6n+1

)＞

m

20

成立的m必須滿足

m

20

＜

1

2

(1-

1

6n+1

)min
∴

m

20

＜

1

2

(1-

1

6+1

)
∴

m

20

＜

3

7

∴m＜

60

7

故滿足要求的最大整數(shù)m為8．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及利用裂項(xiàng)求和法求數(shù)列的和，同時(shí)考查了學(xué)生的計(jì)算能力、分析解決問題的能力，屬于中檔題．