如圖，已知ABC-A1B1C1是正三棱柱，它的底面邊長和側(cè)棱長都是2．
（1）求異面直線A1C與B1C1所成角的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；
（2）求三棱錐C-ABC1的體積．

【答案】分析：（1）連接A1B，由三棱柱的性質(zhì)得C1B1∥CB，從而得到∠A1CB（或其補(bǔ)角）是異面直線A1C與B1C1所成角．然后在△A1CB中計算出各邊的長，再根據(jù)余弦定理算出cos∠A1CB=，即可得到異面直線A1C與B1C1所成角的大�。�
（2）由棱柱體積公式，算出正三棱柱ABC-A1B1C1的體積為2，而三棱錐C1-ABC與正三棱柱ABC-A1B1C1同底等高，得到，由此不難得到三棱錐C-ABC1的體積的值．
解答：解：（1）連接A1B，
∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，C1B1∥CB，
∴∠A1CB（或其補(bǔ)角）是異面直線A1C與B1C1所成角．
∵四邊形AA1C1C與AA1B1B都是邊長為2的正方形
∴，
△A1CB中根據(jù)余弦定理，得cos∠A1CB==
因此，∠A1CB=，
即異面直線A1C與B1C1所成角的大小為．
（2）由題意得
∵△ABC的面積S△ABC=，高CC1=2
∴正三棱柱ABC-A1B1C1的體積為V=S△ABC×CC1=2
而三棱錐C1-ABC與正三棱柱ABC-A1B1C1同底等高
∴三棱錐C1-ABC的體積為，
∵，
∴三棱錐C-ABC1的體積為．
點(diǎn)評：本題給出所有棱長均相等的正三棱柱，求異面直線所成角并求三棱錐的體積，著重考查了異面直線所成角的求法和錐體、柱體體積公式等知識，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知△ABC的頂點(diǎn)為A（2，4），B（0，-2），C（-2，3），求：
（Ⅰ）AB邊所在直線的方程；
（Ⅱ）AB邊上的高線CH所在直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)，求證：
（1）FD∥平面ABC；  
（2）AF⊥平面EDB．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知兩點(diǎn)A（-
5
，0）、B（
5
，0），△ABC的內(nèi)切圓的圓心在直線x=2上移動．
（Ⅰ）求點(diǎn)C的軌跡方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)M（2，0）作兩條射線，分別交（Ⅰ）中所求軌跡于P、Q兩點(diǎn)，且
MP
•
MQ
=0，求證：直線PQ必過定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


如圖，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，且AD=1，BD=2，△ACD繞CD旋轉(zhuǎn)至
A′CD，使點(diǎn)A'與點(diǎn)B之間的距離A′B=
3
．
（1）求證：BA′⊥平面A′CD；
（2）求二面角A′-CD-B的大小；
（3）求異面直線A′C與BD所成的角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知△ABC內(nèi)接于圓O，AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，DC⊥平面ABC，AB=2，tan∠EAB=
3
2
．
（1）證明：平面ACD⊥平面ADE；
（2）記AC=x，V（x）表示三棱錐A-CBE的體積，求V（x）的表達(dá)式；
（3）當(dāng)V（x）取得最大值時，求證：AD=CE．

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