Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2mx+1．
（1）m=2時(shí)，求f（x）在?x∈[0，1]上的最大值；
（2）若x²-2mx+1＞0對?x∈[0，1]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）通過m=2，化簡平方f（x）的表達(dá)式，利用函數(shù)的單調(diào)性求解在?x∈[0，1]上的最大值；
（2）x²-2mx+1＞0對?x∈[0，1]恒成立，轉(zhuǎn)化為，m在一側(cè)的不等式，通過基本不等式求出另一側(cè)的最值，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）m=2時(shí)，f（x）=（x-2）²-3，在?x[0，1]上單調(diào)遞減，
f_max（x）=f（0）=1；
（2）原不等式等價(jià)于2mx＜x²+1，當(dāng)x=0時(shí)，不等式顯然成立，
當(dāng)0＜x≤1時(shí)，原不等式等價(jià)于m＜

x2+1

2x

，

x2+1

2x

=

1

2

(x+

1

x

)≥

1

2

×2

x• 1 x

=1，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，∴當(dāng)x=1時(shí)，

x2+1

2x

取最小值1，∴m＜1
綜上，所求m的取值范圍為（-∞，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的恒成立問題的應(yīng)用，二次函數(shù)的單調(diào)性，基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力以及轉(zhuǎn)化思想．