Question

1．已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²+1，（a∈R）．
（1）若f（x）圖象上橫坐標為1的點處存在垂直于y軸的切線，求a的值；
（2）若f（x）在區(qū)間（-1，2）內有兩個不同的極值點，求a取值范圍；
（3）當a=1時，是否存在實數(shù)m，使得函數(shù)g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1的圖象于函數(shù)f（x）的圖象恰有三個不同的交點，若存在，試求出實數(shù)m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導數(shù)，再由f′（1）=0求解a．
（2）將“f（x）在區(qū)間（-1，2）內有兩個不同的極值點”轉化為“方程f′（x）=0在區(qū)間（-1，2）內有兩個不同的實根”，用△＞0求解．
（3）a=1，“要使函數(shù)f（x）與g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1的圖象恰有三個交點”即為“方程x²（x²-4x+1m）=0恰有三個不同的實根”．因為x=0是一個根，所以方程x²-4x+1-m=0應有兩個非零的不等實根，再用判別式求解．

解答 解：（1）依題意，f′（1）=0
∵f′（x）=-3x²+2ax
-3（1）²+2•a•1=0，
∴a=$\frac{3}{2}$；
（2）若f（x）在區(qū)間（-1，2）內有兩個不同的極值點，
則方程f′（x）=-3x²+2ax=0在區(qū)間（-1，2）內有兩個不同的實根，
∴△＞0，f′（-1）＜0，f′（2）＜0，-1＜$\frac{a}{3}$＜2，
解得：-$\frac{3}{2}$＜a＜3且a≠0
但a=0時，f（x）=-x³+1無極值點，
∴a的取值范圍為（-$\frac{3}{2}$，0）∪（0，3）；
（3）a=1時，f（x）=-x³+x²+1，
要使函數(shù)f（x）與g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1的圖象恰有三個交點，
等價于方程-x³+x²+1=x⁴-5x³+（2-m）x²+1，
即方程x²（x²-4x+1-m）=0恰有三個不同的實根．
∵x=0是一個根，
∴應使方程x²-4x+1-m=0有兩個非零的不等實根，
由△=16-4（1-m）＞0，1-m≠0，解得m＞-3，m≠1，
∴存在m∈（-3，1）∪（1，+∞），
使用函數(shù)f（x）與g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1的圖象恰有三個交點．

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的綜合運用，主要涉及了方程的根與函數(shù)的零點間的轉化．還考查了計算能力和綜合運用知識的能力．