Question

若向量m=(sinωx,0),n=(cosωx,-sinωx)(ω>0),在函數(shù)f(x)=
m·(m+n)+t的圖象中,對稱中心到對稱軸的最小距離為,且當x∈[0,]時,f(x)的最大值為1.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式.
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

Answer 1

(1) f(x)=sin(2x-)-   (2) [kπ-,kπ+π](k∈Z)

(1)由題意得f(x)=m·(m+n)+t=m²+m·n+t
=3sin²ωx+sinωx·cosωx+t
=-cos2ωx+sin2ωx+t
=sin(2ωx-)++t.
∵對稱中心到對稱軸的最小距離為,
∴f(x)的最小正周期為T=π.
∴=π,∴ω=1.
∴f(x)=sin(2x-)++t,
當x∈[0,]時,2x-∈[-,],
∴當2x-=,
即x=時,f(x)取得最大值3+t.
∵當x∈[0,]時,f(x)_max=1,
∴3+t=1,∴t=-2,
∴f(x)=sin(2x-)-.
(2)由(1)知f(x)=sin(2x-)-.
2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
2kπ-≤2x≤2kπ+π,kπ-≤x≤kπ+π,
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-,kπ+π](k∈Z).