Question

（2013•許昌二模）已知函數(shù)f（x）=ax-e^x（a＞0）．
（Ⅰ）當(dāng)a=

1

2

時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)1≤a≤1+e時，求證：f（x）≤x．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=

1

2

時，求出f′（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)F（x）=x-f（x）=e^x-（a-1）x，利用導(dǎo)數(shù)證明F（x）≥0即可．

解答：（Ⅰ）解：當(dāng)a=

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2

時，f(x)=

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2

x-ex，令f′（x）=

1

2

-e^x=0，x=-ln2
當(dāng)x＜-ln2時，f′（x）＞0；當(dāng)x＞-ln2時，f′（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-ln2），遞減區(qū)間為（-ln2，+∞）．
（Ⅱ）證明：令F（x）=x-f（x）=e^x-（a-1）x，
（1）當(dāng)a=1時，F(xiàn)（x）=e^x＞0，∴f（x）≤x成立； 
（2）當(dāng)1＜a≤1+e時，F(xiàn)′（x）=e^x-（a-1）=e^x-e^ln（a-1），
當(dāng)x＜ln（a-1）時，F(xiàn)′（x）＜0；當(dāng)x＞ln（a-1）時，F(xiàn)′（x）＞0，
∴F（x）在（-∞，ln（a-1））上遞減，在（ln（a-1），+∞）上遞增，
∴F（x）≥F（ln（a-1））=e^ln（a-1）-（a-1）ln（a-1）=（a-1）[1-ln（a-1）]，
∵1＜a≤1+e，∴a-1＞0，1-ln（a-1）≥1-ln[（1+e）-1]=0，
∴F（x）≥0，即f（x）≤x成立．
綜上，當(dāng)1≤a≤1+e時，有f（x）≤x．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性問題，導(dǎo)數(shù)的符號決定函數(shù)的單調(diào)性．