Question

已知函數(shù)y=4x²-4ax+（a²-2a+2）在區(qū)間[0，2]上的最小值是3，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析：求出函數(shù)的對稱軸，分別討論對稱軸與區(qū)間[0，2]的關(guān)系，求出函數(shù)的最小值，利用函數(shù)在區(qū)間[0，2]上的最小值是3，求a即可．

解答：解：函數(shù)=4x²-4ax+（a²-2a+2）的對稱軸為x=-

-4a

2×4

=

1

2

a．
①當(dāng)

a

2

∈[0，2]，即0≤a≤4，此時(shí)函數(shù)的最小值為拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)，
所以函數(shù)的最小值為y=-2a+2，由-2a+2=3，解得a=-

1

2

，此時(shí)不成立．
②當(dāng)

a

2

＜0，即a＜0時(shí)，此時(shí)函數(shù)在[0，2]上單調(diào)遞增，
所以最小值y=f（0）=a²-2a+2，
由a²-2a+2=3，即a²-2a-1=0，解得a=1-

2

．
③當(dāng)

a

2

＞2，即a＞4時(shí)，此時(shí)函數(shù)在[0，2]上單調(diào)遞減，
所以最小值y=f（2）=a²-10a+18，
由a²-10a+18=3，即a²-10a+15=0，解得a=5+

10

．
綜上：a=1-

2

或a=5+

10

．

點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，通過討論對稱軸與區(qū)間之間的關(guān)系，求出函數(shù)的最小值是解決本題的關(guān)鍵．