設m∈N，F(xiàn)(m)表示log2m的整數(shù)部分．

(Ⅰ)求F(1)，F(xiàn)(2)，F(xiàn)(3)；

(Ⅱ)求滿足F(m)＝3的m的值；

(Ⅲ)(文科做)求：F(2n＋1)＋F(2n＋2)＋F(2n＋3)＋…＋F(2n+1)(n∈N)；

(理科做)求證：F(1)＋F(2)＋F(3)＋…＋F(2n)＝(n－2)·2n＋n＋2(n∈N)．

答案：
解析：

 　　解：(Ⅰ)∵log21＝0，∴F(1)＝0

　　解：(Ⅰ)∵log21＝0，∴F(1)＝0．∵log22＝1，　　∴F(2)＝1，

　　∵1＜log23＜2，∴F(3)＝1．

　　(Ⅱ)當F(m)＝3，設log2m＝3＋a，(0≤a＜1)，　　則m＝23+a．

　　∴23≤m＜24，即8≤m＜16

　　∴m＝8，9，10，11，12，13，14，15等共8個值．

　　(Ⅲ)(文科做)∵F(2n)＝n，F(xiàn)(2n+1)＝n＋1．

　　∴F(2n＋1)＋F(2n＋2)＋F(2n＋3)＋…＋F(2n+1－1)＋F(2n+1)

　�。�

　�。絥(2n－1)＋n＋1＝n·2n＋1．

　　證明：(理科做)用數(shù)學歸納法證明如下：

　　(i)當n＝1時，∵左邊＝F(1)＋F(2)＝0＋1＝1，

　　右邊＝(1－2)·21＋2＋1＝1　　∴等式成立．

　　(ii)假設當n＝k時，等式成立．

　　即F(1)＋F(2)＋F(3)＋……＋F(2k)＝(k－2)·2k＋k＋2．

　　則n＝k＋1時，

　　F(1)＋F(2)＋……＋F(2k)＋F(2k＋1)＋……＋F(2k+1)

　　＝[(k－2)·2k＋k＋2]＋[(2k－1)k＋(k＋1)]＝(k＋1－2)·2k+1＋(k＋1)＋2．

　　這就是說，當n＝k＋1時等式也成立．根據(jù)(i)和(ii)可知對任何n∈N等式都成立．


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（Ⅱ）設直線與曲線相交于，兩點，求M,N兩點間的距離．

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