Question

已知函數(shù)f（x）=x²+

a

x

（a∈R）．
（1）試判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）若f（x）在區(qū)間[2，+∞]上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)a=0時，利用（1）（2）的結(jié)論，指出f（x）在區(qū)間（-∞，-3]上的單調(diào)性．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）通過f（x）解析式容易看出a=0時是偶函數(shù)，a≠0時是非奇非偶函數(shù)；
（2）求f′（x）=

2x3-a

x2

，所以便有2x³-a≥0在[2，+∞）上恒成立，所以a≤2x³在[2，+∞）上恒成立，2x³的最小值為16，所以便有a≤16；
（3）a=0時，f（x）=x²，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可判斷該函數(shù)在（-∞，-3]上的單調(diào)性．

解答： 解：（1）若a=0，則f（x）=x²，該函數(shù)為偶函數(shù)；
若a≠0，f（1）=1+a，f（-1）=1-a，∴f（-1）≠f（1），且f（-1）≠-f（1），∴此時f（x）為非奇非偶函數(shù)；
（2）f′（x）=2x-

a

x2

=

2x3-a

x2

；
∵f（x）在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)；
∴f′（x）≥0，即2x³-a≥0在[2，+∞）上恒成立；
∴a≤2x³在[2，+∞）上恒成立；
2x³在[2，+∞）上是增函數(shù)；
∴2x³在[2，+∞）上的最小值為16；
∴a≤16；
∴實數(shù)a的取值范圍為（-∞，16]；
（3）a=0時，f（x）=x²；
f（x）是二次函數(shù)，對稱軸為x=0；
∴該函數(shù)在（-∞，-3]上單調(diào)遞減．

點評：考查奇偶函數(shù)的定義以及判斷方法，函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號的關(guān)系，以及二次函數(shù)的單調(diào)性．