Question

對于函數(shù)． 
（1）探索函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）是否存在實數(shù)a使得f（x）為奇函數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)x₁＜x₂，化簡計算f（x₁）-f（x₂）的解析式到因式乘積的形式，判斷符號，得出結(jié)論．
（2））假設(shè)存在實數(shù)a使f（x）為奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），由此等式解出a的值，若a無解，說明不存在實數(shù)a使f（x）為奇函數(shù)，若a有解，說明存在實數(shù)a使f（x）為奇函數(shù)．
解答：解：（1）∵f（x）的定義域為R，設(shè)x₁＜x₂，
則=，（3分）
∵x₁＜x₂，∴，（5分）
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），所以不論a為何實數(shù)f（x）總為增函數(shù)．（6分）
（2）假設(shè)存在實數(shù)a使f（x）為奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x）（7分）
即，（9分）
解得：a=1，故存在實數(shù)a使f（x）為奇函數(shù)．  （12分）
點評：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷．