Question

M為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M的一直線(xiàn)交AB邊于P，交AC邊于點(diǎn)Q，且滿(mǎn)足“”那么M一定是△ABC的（ ）
A．重心
B．垂心
C．內(nèi)心
D．外心

Answer 1

【答案】分析：先考察兩種特殊情形：當(dāng)P與B重合時(shí)，當(dāng)Q與C重合時(shí)，直線(xiàn)BM和CM都過(guò)三角形某一邊的中點(diǎn)，再根據(jù)三角形中線(xiàn)段長(zhǎng)度之間的等量關(guān)系判斷出直線(xiàn)AM過(guò)BC邊中點(diǎn)F，從而得出正確答案．
解答：解：∵P為AB邊上（除A外）的任意一點(diǎn)，所以當(dāng)P與B重合時(shí)，
可得，
∴，
此時(shí)Q為AC邊中點(diǎn)，
即直線(xiàn)BM過(guò)AC邊中點(diǎn)．
同理，因?yàn)镼為AC邊上（除A外）的任意一點(diǎn)
∴當(dāng)Q與C重合時(shí)，可得，，
∴，此時(shí)P為AB邊中點(diǎn)，
即直線(xiàn)CM過(guò)AB邊中點(diǎn)；
設(shè)D為AC邊中點(diǎn)，E為AB邊中點(diǎn)，連接ED，直線(xiàn)AM分別交ED、BC于G、F，
∵ED是△ABC的一條中位線(xiàn)，
∴
∵，
∴，
∴BF=FC
∵BF=FC，
∴F為BC邊上中點(diǎn)，因?yàn)橹本�(xiàn)BM過(guò)AC邊中點(diǎn)D，直線(xiàn)CM過(guò)AB邊中點(diǎn)E，直線(xiàn)AM過(guò)BC邊中點(diǎn)F，
∴M為△ABC的重心．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形的重心問(wèn)題．解決三角形的重心問(wèn)題要注意三角形的重心滿(mǎn)足的性質(zhì)：到頂點(diǎn)距離等于到對(duì)邊中點(diǎn)的2倍．