Question

2．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）的一個焦點為F（$\sqrt{5}$，0），離心率e=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）直線l過點F交橢圓C于A、B兩點，且$\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）運用橢圓的離心率公式和a，b，c的關系，解得a=3，b=4，進而得到橢圓的方程；
（2）討論直線l的斜率不存在，不合題意；存在，設l的方程為y=k（x-$\sqrt{5}$），代入橢圓方程，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），運用韋達定理，以及向量共線的坐標表示，化簡整理可得k的方程，解得k，即可得到所求直線的方程．

解答 解：（1）由題意得c=$\sqrt{5}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
解得a=3，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=4，
即有橢圓C方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；  
（2）若l的斜率不存在，根據(jù)圖形的對稱性有$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{FB}$，不合題意；
設l的斜率為k，則l的方程為y=k（x-$\sqrt{5}$），
代入橢圓方程，化得（4+9k²）x²-18$\sqrt{5}$k²x+45k²-36=0，
記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
x₁+x₂=$\frac{18\sqrt{5}{k}^{2}}{4+9{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{45{k}^{2}-36}{4+9{k}^{2}}$，
且y₁=k（x₁-$\sqrt{5}$），y₂=k（x₂-$\sqrt{5}$），
$\overrightarrow{AF}$=（$\sqrt{5}$-x₁，-y₁），$\overrightarrow{FB}$=（x₂-$\sqrt{5}$，y₂），
由$\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}$，可得$\sqrt{5}$-x₁=2（x₂-$\sqrt{5}$），
即x₁+2x₂=3$\sqrt{5}$，
解得x₂=3$\sqrt{5}$-$\frac{18\sqrt{5}{k}^{2}}{4+9{k}^{2}}$=$\frac{12\sqrt{5}+9\sqrt{5}{k}^{2}}{4+9{k}^{2}}$，
x₁=$\frac{18\sqrt{5}{k}^{2}}{4+9{k}^{2}}$-$\frac{12\sqrt{5}+9\sqrt{5}{k}^{2}}{4+9{k}^{2}}$=$\frac{-12\sqrt{5}+9\sqrt{5}{k}^{2}}{4+9{k}^{2}}$，
代入x₁x₂=$\frac{45{k}^{2}-36}{4+9{k}^{2}}$，
化為k²=4，即k=±2
則直線l的方程為y=±2（x-$\sqrt{5}$）．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用離心率公式，考查直線方程的求法，注意運用直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和向量共線的坐標表示，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．