Question

已知,橢圓C以過點(diǎn)A(1,),兩個(gè)焦點(diǎn)為(-1,0)(1,0)｡

(1)求橢圓C的方程;

(2)E,F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù),證明直線EF的斜率為定值,并求出這個(gè)定值｡ 

 

Answer 1

【答案】

 (Ⅰ) ；(Ⅱ)直線EF的斜率為定值,其值為｡

【解析】

試題分析：（1）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)，根據(jù)以右焦點(diǎn)為圓心，橢圓長半軸為半徑的圓與直線x+ y+3=0相切，即可確定橢圓的幾何量，從而可求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線AE方程代入橢圓方程，利用點(diǎn)A(1，)在橢圓上，可求E的坐標(biāo)，利用直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，可求F的坐標(biāo)，從而可得直線EF的斜率，問題得解．

解:(Ⅰ)由題意,c=1,可設(shè)橢圓方程為｡

因?yàn)锳在橢圓上,所以,解得=3,=(舍去)｡

所以橢圓方程為   ----------------------5分

(Ⅱ)設(shè)直線AE方程:得,代入得

設(shè)E(,),F(,).因?yàn)辄c(diǎn)A(1,)在橢圓上,所以

,

｡

又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù),在上式中以代,可得

,

｡

所以直線EF的斜率｡

即直線EF的斜率為定值,其值為｡ ---------------------12分

考點(diǎn)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查直線斜率的求解，屬于中檔題。

點(diǎn)評(píng)：解題的關(guān)鍵是直線與橢圓方程聯(lián)立，確定點(diǎn)的坐標(biāo)，然后結(jié)合已知中斜率的關(guān)系史得到結(jié)論。