如圖，在四棱錐中，底面是矩形．已知，，， 

（1）證明平面；

（2）求異面直線與所成的角的正切值；

（3）求二面角的正切值．

 

【答案】

（1）見解析；（2）；（3）.

【解析】本試題主要考查了立體幾何中的線面的垂直問題的運(yùn)用，以及異面直線所成的角的求解，和二面角的求解的綜合運(yùn)用。

（1）證明：在中，由題設(shè)，，，可得，于是．在矩形中，，又，所以平面．

（2）解：由題設(shè)，，所以（或其補(bǔ)角）是異面直線與所成的角．

在中，由余弦定理得

．

由（Ⅰ）知平面，平面，

所以，因而，于是是直角三角形，

故．

所以異面直線與所成的角的正切值為．

（3）解：過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，連結(jié)．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061916591609457810/SYS201206191701180476182055_DA.files/image012.png">平面，平面，所以．又，因而平面，故為在平面內(nèi)的射影．由三垂線定理可知，．從而是二面角的平面角．

由題設(shè)可得，，，

，，．

于是在中，．

所以二面角的正切值為

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011年廣西省桂林中學(xué)高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué) 題型：解答題

（（本小題滿分12分）
如圖，在四棱錐中，底面是矩形．已知
．

（1）證明平面；
（2）求異面直線與所成的角的大��；
（3）求二面角的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012屆福建省三明市高三第一學(xué)期測(cè)試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，，,平面，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).   　

(Ⅰ) 求證：∥平面；

（Ⅱ）求證：平面⊥平面；

（Ⅲ）求平面與平面所成的銳二面角的大小.

 

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆上海市高二年級(jí)期終考試數(shù)學(xué) 題型：解答題

（本題滿分16分）

如圖，在四棱錐中，底面是矩形．已知．

（1）證明平面；

（2）求異面直線與所成的角的大�。�

（3）求二面角的大�。�

 

 

 

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年江蘇省高二下學(xué)期期末考試附加卷數(shù)學(xué)卷 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱，為中點(diǎn)，作交于

（1）求PF：FB的值

（2）求平面與平面所成的銳二面角的正弦值。

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011屆浙江省高三6月考前沖刺卷數(shù)學(xué)理 題型：解答題

(本小題滿分14分)

如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，平面，在棱上．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證平面

（Ⅱ）當(dāng)二面角的大小為時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值．

 

 

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