Question

在△ABC中，已知tan

A+B

2

=sinC，給出以下四個論斷：
①tanA•cotB=1，
②1＜sinA+sinB≤

2

，
③sin²A+cos²B=1，
④cos²A+cos²B=sin²C，
其中正確的是（　�。�

• A、①③
• B、②④
• C、①④
• D、②③

Answer 1

分析：先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角公式化簡整理題設(shè)等式求得cos

A+B

2

=

2

2

進(jìn)而求得A+B=90°進(jìn)而求得①tanA•cotB=tanA•tanA等式不一定成立，排除；②利用兩角和公式化簡，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得其范圍符合，②正確；
③sin²A+cos²B=2sin²A不一定等于1，排除③；④利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可知cos²A+cos²B=cos²A+sin²A=1，進(jìn)而根據(jù)C=90°可知sinC=1，進(jìn)而可知二者相等．④正確．

解答：解：∵tan

A+B

2

=sinC
∴

sin A+B 2

cos A+B 2

=2sin

A+B

2

cos

A+B

2

整理求得cos（A+B）=0
∴A+B=90°．
∴tanA•cotB=tanA•tanA不一定等于1，①不正確．
∴sinA+sinB=sinA+cosA=

2

sin（A+45°）
45°＜A+45°＜135°，

2

2

＜sin（A+45°）≤1，
∴1＜sinA+sinB≤

2

，
所以②正確
cos²A+cos²B=cos²A+sin²A=1，
sin²C=sin²90°=1，
所以cos²A+cos²B=sin²C．
所以④正確．
sin²A+cos²B=sin²A+sin²A=2sin²A=1不一定成立，故③不正確．
綜上知②④正確
故選B．

點(diǎn)評：本題主要考查了三角函數(shù)的化簡求值．考查了學(xué)生綜合分析問題和推理的能力，基本的運(yùn)算能力．