Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，前n項(xiàng)和為S_n，且點(diǎn)P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直線x-y+1=0上，則

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)點(diǎn)P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直線x-y+1=0上，求出a_n的通項(xiàng)公式，然后再求出s_n的表達(dá)式，進(jìn)而求得答案．

解答：解：∵點(diǎn)P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直線x-y+1=0上，
∴a_n+1-a_n=1，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
∵a₁=1，
∴s_n=

n2+n

2

，
∴

1

sn

=

2

n(n+1)

，
∴

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=2（1-

1

2

+

1

2

-…-

1

n+1

）=

2n

n+1

，
故答案為

2n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列求和的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是證明數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，然后求出等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，然后在用裂項(xiàng)相消法求得

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

．