Question

已知曲線C：x²+y²-2x-4y+m=0
（1）當m為何值時，曲線C表示圓；
（2）在（1）的條件下，若曲線C與直線3x+4y-6=0交于M、N兩點，且|MN|=2

3

，求m的值．
（3）在（1）的條件下，設(shè)直線x-y-1=0與圓C交于A，B兩點，是否存在實數(shù)m，使得以AB為直徑的圓過原點，若存在，求出實數(shù)m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由D²+E²-4F=4+16-4m=20-4m＞0，由求出當m＜5時，曲線C表示圓．
（2）由已知條件推導(dǎo)出圓心C（1，2），半徑r=

5-m

，由此利用點到直線的距離公式結(jié)合已知條件能求出m=1．
（3）假設(shè)存在實數(shù)m使得以AB為直徑的圓過原點，則OA⊥OB，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁x₂+y₁y₂=0，由

x2+y2-2x-4y+m=0 x-y-1=0

，得2x²-8x+5+m=0，由此能求出存在實數(shù)m使得以AB為直徑的圓過原點，m=-2．

解答： 解：（1）∵x²+y²-2x-4y+m=0
由D²+E²-4F=4+16-4m=20-4m＞0，得m＜5，
∴當m＜5時，曲線C表示圓．…（2分）
（2）∵x²+y²-2x-4y+m=0，
∴（x-1）²+（y-2）²=5-m，
∴圓心C（1，2），半徑r=

5-m

，…（3分）
∵圓心C（1，2）到直線3x+4y-6=0的距離d=

|3+8-6|

32+42

=1…（4分）
又|MN|=2

3

，
∴r2=12+(

3

)2=4，即5-m=4，解得m=1．…（5分）
（3）假設(shè)存在實數(shù)m使得以AB為直徑的圓過原點，則OA⊥OB，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁x₂+y₁y₂=0，…（6分）
由

x2+y2-2x-4y+m=0 x-y-1=0

，
得2x²-8x+5+m=0，…（7分）
∴△=64-8（m+5）=24-8m＞0，即m＜3，又由（1）知m＜5，
故m＜3…（8分）
x1+x2=4，x1x2=

m+5

2

…（9分）
∴y1y2=(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=

m+5

2

-3=

m-1

2

…（10分）
∴x1x2+y1y2=

m+5

2

+

m-1

2

=m+2=0，
∴m=-2＜3…（11分）
故存在實數(shù)m使得以AB為直徑的圓過原點，m=-2．…（12分）

點評：本題考查方程表示圓時實數(shù)m的取值范圍的求法，考查滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法，考查滿足條件的實數(shù)是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．