Question

已知拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F是等腰直角△ABF的直角頂點(diǎn)，A，B在拋物線上，
（1）求證：A，B關(guān)于x軸對(duì)稱；
（2）求△ABF的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F是等腰直角△ABF的直角頂點(diǎn)，可得|AF|=|BF|，由此可得結(jié)論；
（2）求出A的坐標(biāo)，即可求得三角形的面積．

解答：（1）證明：∵拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F是等腰直角△ABF的直角頂點(diǎn)，
∴|AF|=|BF|
∴A、B到準(zhǔn)線的距離相等
∴A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等
∴A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相反
∴A、B關(guān)于x軸對(duì)稱；
（2）解：由題意，設(shè)A（x，y），則|y|=|x-1|
∵y²=4x，∴|x-1|²=4x
∴x²-6x+1=0
∴x=3±2

2

x=3+2

2

時(shí)，|y|=2+2

2

，∴△ABF的面積為（2+2

2

）²=12+8

2

；
x=3-2

2

時(shí)，|y|=2

2

-2，∴△ABF的面積為（2

2

-2）²=12-8

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．