Question

已知函數(shù)f(x)=

(x2-2ax)ex，x＞0 2x，???x≤0

，x=1是函數(shù)y=f（x）的極值點．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）若方程f（x）-m=0有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值．

Answer 1

分析：（1）由x=1是函數(shù)y=f（x）的極值點，則f'（1）=0，我們根據(jù)已知分段函數(shù)的解析式，求出其導(dǎo)函數(shù)，代入即可求出a值．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，我們易求出函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的解析式，進而分析出函數(shù)的單調(diào)性，畫出函數(shù)圖象的草圖，結(jié)合草圖及f（x）-m=0的根的個數(shù)即為函數(shù)y=f（x）圖象與y=m交點個數(shù)，不難求出實數(shù)m的范圍．

解答：解：（1）x＞0時，f（x）=（x²-2ax）e^x，
∴f'（x）=（2x-2a）e^x+（x²-2ax）e^x=[x²+2（1-a）x-2a]e^x，
由已知，f'（1）=0，∴[1+2（1-a）-2a]e=0，
∴1+2-2a-2a=0，∴a=

3

4

．
（2）由（1）x＞0時，f(x)=(x2-

3

2

x)ex，
∴f′(x)=(2x-

3

2

)ex+(x2-

3

2

x)ex=

1

2

(x-1)(2x+3)ex．
令f′(x)=0得x=1(x=-

3

2

舍去)，當(dāng)x＞0時：

所以，要使方程f（x）-m=0有兩不相等的實數(shù)根，即函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=m有兩個不同的交點，m=0或m=-

1

2

e．

點評：要求已知函數(shù)極值點，但解析式中含有參數(shù)的函數(shù)問題，我們可以利用極值點的導(dǎo)數(shù)值為0，構(gòu)造方程進行解答．對于給出具體解析式的函數(shù)，判斷或證明其在某區(qū)間上的單調(diào)性問題，可以結(jié)合定義  （ 基本步驟為取 點、作差或作商、變形、判斷）求解．可導(dǎo)函數(shù)則可以利用導(dǎo)數(shù)解之．