Question

已知函數f(x)＝log_a(3＋x)，g(x)＝log_a(3－x)(a＞0且a≠1)．

(1)當a＝2時，求函數y＝f(x)＋g(x)的定義域、值域；

(2)求使f(x)－g(x)＞0成立的x取值范圍．

Answer 1

 [解]　(1)當a＝2時，有y＝log₂(3＋x)＋log₂(3－x)＝log₂(－x²＋9)，則由3＋x>0且3－x＞0，解得－3＜x＜3，故函數y的定義域為(－3,3)；又因為0＜－x²＋9≤9且函數y＝log₂t(令t＝－x²＋9)為增函數，所以log₂(－x²＋9)≤log₂9＝2log₂3即y≤2log₂3，故函數y的值域為(－∞，2log₂3]．

(2)由f(x)－g(x)＞0，得f(x)＞g(x)，即log_a(3＋x)＞log_a(3－x)，

當a＞1時，滿足解得0＜x＜3；

當0＜a＜1時，滿足解得－3＜x＜0

故所求x取值范圍為：當a＞1時，解集為{x|0＜x＜3}，當0＜a＜1時，解集為{x|－3＜x＜0}．