如圖所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝，側(cè)棱AA1＝2，D、E分別是CC1與A1B的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．

(1)

求A1B與平面ABD所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)

(2)

求點(diǎn)A1到平面AED的距離

答案：
解析：

(1)

　　解析：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)為C，設(shè)CA=2a．則A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，D(0，0，1)，A1=(2a，0，2)，E(a，a，1)，G(，，)．

　　∴=(，，)，=(0，－2a，1)∴·=－a2＋=0，解得a=1．∴=(2，－2，2)，=(，－，)，

　　∴cos∠A1BG=

　　　　　　　 =＝．

(2)

　　方法一：由(1)得A(2，0，0)，A1(2，0，2 )，E(1，1，1)，D(0，0，1)．

　　·=(－1，1，1)·(－1，－1，0)=0，

　　·=(0，0，2)·(－1，－1，0)=0．

　　易知，點(diǎn)A1在平面AED的射影K在AE上．

　　設(shè)=λ，則

　　=→＋=(－λ，λ，λ－2)．

　　由·=0，即λ＋λ＋λ－2=0，解得λ=∴=(－，－)，∴｜｜=．故A1到平面AED的距離為．

　　方法二：建立空間直角坐標(biāo)系O－zyz后有=(2，0，－1)，=(1，1，0)，=(0，0，2)．

　　設(shè)n=(x，y，z)是平面AED的法向量，則

　　

　　取x=1，則n=(1，－1，2)，

　　∴點(diǎn)A1到平面AED的距離為

　　d=

　　

　�。�．

　　點(diǎn)評：在空間直角坐標(biāo)系中，若已知三角形三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)，則其重心的坐標(biāo)分別為三個頂點(diǎn)相應(yīng)坐標(biāo)的算術(shù)平均數(shù)，這對本題的獲解十分關(guān)鍵．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長均為a，D是側(cè)棱CC1的中點(diǎn)．
（1）求證：平面AB1D⊥平面ABB1A1；
（2）求異面直線AB1與BC所成角的余弦值；
（3）求平面AB1D與平面ABC所成二面角（銳角）的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分別為AA1，B1C的中點(diǎn)，若記
AB
=
a
，
AC
=
b
，
AA
=
c
，則
DE
=
1
2
a
+
1
2
b
1
2
a
+
1
2
b
（用
a
，
b
，
c
表示）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，直三棱柱ABC-A'B'C'中，∠BCA=90°，CA=CB=1，AA'=2，M，N分別是A'B'、A'A的中點(diǎn)．
（1）求證：A'B⊥C'M；
（2）求異面直線BA'與CB'所成交的大��；
（3）（理）求BN與平面CNB'所稱的角的大��；
（4）（理）求二面角A-BN-C的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°,AC=1,AA1=,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).

（1）求證：CD⊥平面ABB1A1；

（2）求二面角A-A1B-C的平面角的正切值;

（3）求三棱錐B1—A1BC的體積；

（4）求BC1與平面A1BC所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ABC=90°,D為棱AC的中點(diǎn),且AB=BC=BB1=a.

(1)求證:AB1∥平面BC1D;

(2)求異面直線AB1與BC1所成的角;

(3)求點(diǎn)A到平面BC1D的距離.

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