已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y）且當(dāng)x＞0，f（x）＜0．
（Ⅰ）判斷f（x）的奇偶性，并證明之；
（Ⅱ）判斷f（x）的單調(diào)性，并證明之．
分析：（Ⅰ）令x=y=0求得f（0）=0，令y為-x，f（x）+f（-x）=f（0）=0，即可判斷f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）利用單調(diào)性的定義即可判斷f（x）的單調(diào)性，在R上任取x1，x2，且令△x=x1-x2＞0，可證得△y=f（x1）-f（x2）＜0，問題得到解決．
解答：解 （Ⅰ）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．…（2分）
證明：∵函數(shù)f（x）的定義域為R，而在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令y為-x，
則有f（0）=f（x）+f（-x）…（4分）
又將x，y都取0代入得f（0）=0，即：f（-x）=-f（x），
又由x在R中的任意性可知，函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．…（6分）
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在R上為單調(diào)減函數(shù)…（8分）
證明：在R上任取x1，x2，且令△x=x1-x2＞0，
由△y=f（x1）-f（x2）=f（x1-x2+x2）-f（x2）=f（△x）+f（x2）-f（x2）=f（△x）…（10分）
又由題可知當(dāng)x＞0，f（x）＜0，故f（△x）＜0，從而△y＜0，
這樣就說明了函數(shù)f（x）在R上為單調(diào)減函數(shù)．…（12分）
點評：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，難點在于△y=f（x1）-f（x2）=f（x1-x2+x2）-f（x2）的轉(zhuǎn)化，突出考查轉(zhuǎn)化思想與綜合應(yīng)用單調(diào)性定義解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex，直線l的方程為y=kx+b．
（1）求過函數(shù)圖象上的任一點P（t，f（t））的切線方程；
（2）若直線l是曲線y=f（x）的切線，求證：f（x）≥kx+b對任意x∈R成立；
（3）若f（x）≥kx+b對任意x∈[0，+∞）成立，求實數(shù)k、b應(yīng)滿足的條件．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|＞|y-m|，則稱x比y遠(yuǎn)離m．
（1）若x2-1比1遠(yuǎn)離0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，證明：a3+b3比a2b+ab2遠(yuǎn)離2ab
ab
；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域D={{x|x≠
kπ
2
+
π
4
，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中遠(yuǎn)離0的那個值．寫出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的基本性質(zhì)（結(jié)論不要求證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|＜|y-m|，則稱x比y接近m．
（1）若x2-1比3接近0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，證明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那個值．寫出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調(diào)性（結(jié)論不要求證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
ex
ex+1
．
（Ⅰ）證明函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點（0，
1
2
）對稱；
（Ⅱ）設(shè)y=f-1(x)為y=f(x)的反函數(shù)，令g(x)=f-1(
x+1
x+2
)，是否存在實數(shù)b，使得任給a∈[
1
4
，
1
3
]，對任意x∈(0，+∞)．不等式g(x)＞x-ax2+b恒成立？若存在，求b的取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•海淀區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=
1，x∈Q
0，x∈CRQ
，則f（f（x））=
1
1

下面三個命題中，所有真命題的序號是
①②③
①②③
．
①函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
②任取一個不為零的有理數(shù)T，f（x+T）=f（x）對x∈R恒成立；
③存在三個點A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC為等邊三角形．

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同步練習(xí)冊答案