Question

19．已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=e^x，其中a為常數(shù)，e=2，718…
（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間與極值；
（2）若存在x使不等式$\frac{x-m}{g（x）}＞\sqrt{x}$成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）若x₁，x₂∈（$\frac{1}{e}$，1），x₁+x₂＜1，求證：x₁x₂＜（x₁+x₂）⁴．

Answer 1

分析 （1）先求函數(shù)的定義域，然后對函數(shù)求導可得f′（x）=lnx+1，分別令f′（x）＞0，f′（x）＜0，可求函數(shù)的單調增區(qū)間，單調減區(qū)間，極值；
（2）由不等式$\frac{x-m}{g（x）}＞\sqrt{x}$⇒m＜（x-$\sqrt{x}{e}^{x}$）_max，（x≥0）
$令h（x）=x-\sqrt{x}{e}^{x}$，（x＞0），h′（x）=1-（$\frac{1}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}$）e^x．利用導數(shù)求出單調性，即求出最大值即可．
（3）由（1）得函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間為（$\frac{1}{e}$，+∞）
 f（x₁+x₂）=（x₁+x₂）ln（x₁+x₂）＞f（x₁）=x₁lnx₁⇒lnx₁＜$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}}$ln（x₁+x₂）
同理得lnx₂＜$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{2}}$ln（x₁+x₂）
 lnx₁+lnx₂=（2+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）ln（x₁+x₂）＜4ln（x₁+x₂），即ln（x₁•x₂）$＜ln（{x}_{1}+{x}_{2}）^{4}$
可證得x₁x₂＜（x₁+x₂）⁴．

解答 解：（1）函數(shù)的定義域為：（0，+∞）
對函數(shù)求導可得f′（x）=lnx+1
令f′（x）＞0可得x$＞\frac{1}{e}$
f′（x）＜0可得0$＜x＜\frac{1}{e}$
則函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間為（$\frac{1}{e}$，+∞），單調減區(qū)間為（0，$\frac{1}{e}$）
∴可知函數(shù)f（x）在x=$\frac{1}{e}$時，取得極小值f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$，無極大值．
（2）由不等式$\frac{x-m}{g（x）}＞\sqrt{x}$⇒m＜x-$\sqrt{x}{e}^{x}$，（x≥0）
$令h（x）=x-\sqrt{x}{e}^{x}$，（x＞0），h′（x）=1-（$\frac{1}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}$）e^x．
∵x＞0，∴$\frac{1}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}≥\sqrt{2}$且e^x＞1，∴$（\frac{1}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}）{e}^{x}＞1$
∴h′（x）＜0，即函數(shù)h（x）在[，0+∞）單調遞減，
∴h（x）≤h（0）=0，
∴若存在x使不等式$\frac{x-m}{g（x）}＞\sqrt{x}$成立，實數(shù)m的取值范圍為（-∞，0）；
（3）證明：由（1）得函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間為（$\frac{1}{e}$，+∞）
∵x₁，x₂∈（$\frac{1}{e}$，1），x₁+x₂＜1，∴$\frac{1}{e}＜{x}_{1}＜{x}_{1}+{x}_{2}＜1$
∵f（x₁+x₂）=（x₁+x₂）ln（x₁+x₂）＞f（x₁）=x₁lnx₁
⇒lnx₁＜$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}}$ln（x₁+x₂）
同理得lnx₂＜$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{2}}$ln（x₁+x₂）
∴l(xiāng)nx₁+lnx₂$＜（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}}+\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{2}}）$ln（x₁+x₂）=（2+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）ln（x₁+x₂）．
∵2+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$≥4，（x₁=x₂時取等號），ln（x₁+x₂）＜0
∴l(xiāng)nx₁+lnx₂=（2+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）ln（x₁+x₂）＜4ln（x₁+x₂）．
∴l(xiāng)n（x₁•x₂）$＜ln（{x}_{1}+{x}_{2}）^{4}$
∴x₁x₂＜（x₁+x₂）⁴．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用，利用導數(shù)求函數(shù)單調性、最值，考查了存在性問題、轉化思想，屬于難題．