Question

20．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的上頂點為（0，2），且離心率為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）從橢圓C上一點M向圓x²+y²=1上引兩條切線，切點分別為A、B，當直線AB分別與x軸、y軸交于P、Q兩點時，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓上頂點為（0，2），且離心率為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，列出方程組，求出a=6，b=3，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)切點為（x₀，y₀），求出切線方程為${x}_{0}x+{y}_{0}y={r}^{2}$，設(shè)點M（x_M，y_M），MA，MB是圓x²+y²=1的切線，求出切點弦AB的方程為x_Mx+y_My=1，由此能求出|PQ|的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的上頂點為（0，2），且離心率為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{2}}{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=6，b=2，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（Ⅱ）設(shè)切點為（x₀，y₀），
當切線斜率存在時，設(shè)切線方程為y-y₀=k（x-x₀），
∵k=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$，∴切線方程為y-y₀=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$（x-x₀），∴${x}_{0}x+{y}_{0}y={r}^{2}$，
當k不存在時，切點坐標為（±r，0），對應(yīng)切線方程為x=±r，
符合${x}_{0}x+{y}_{0}y={r}^{2}$，
綜上知切線方程為${x}_{0}x+{y}_{0}y={r}^{2}$，
設(shè)點M（x_M，y_M），MA，MB是圓x²+y²=1的切線，切點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
過點A的圓的切線為x₁x+y₁y=1，
過點B的圓的切線為x₂x+y₂y=1，
∵兩切線都過M點，∴x₁x_M+y₁y_M=1，x₂x_M+y₂y_M=1，
∴切點弦AB的方程為x_Mx+y_My=1，
由題意知x_My_M≠0，
∴P（$\frac{1}{{x}_{M}}$，0），Q（0，$\frac{1}{{y}_{M}}$），
∴|PQ|²=$\frac{1}{{{x}_{M}}^{2}}+\frac{1}{{{y}_{M}}^{2}}$=（$\frac{1}{{{x}_{M}}^{2}}+\frac{1}{{{y}_{M}}^{2}}$）（$\frac{{{{x}_{M}}^{2}}_{\;}}{36}$+$\frac{{{y}_{M}}^{2}}{4}$）
=$\frac{1}{36}+\frac{1}{4}+\frac{1}{36}•\frac{{{x}_{M}}^{2}}{{{y}_{M}}^{2}}+\frac{1}{4}•\frac{{{y}_{M}}^{2}}{{{x}_{M}}^{2}}$
≥$\frac{1}{36}+\frac{1}{4}+2\sqrt{\frac{1}{144}•\frac{{{x}_{M}}^{2}}{{{y}_{M}}^{2}}•\frac{{{y}_{M}}^{2}}{{{x}_{M}}^{2}}}$=$\frac{4}{9}$，
當且僅當${{x}_{M}}^{2}=9，{{y}_{M}}^{2}=3$時，取等號，
∴|PQ|≥$\frac{2}{3}$，∴|PQ|的最小值為$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查兩點間距離的最小值的求法，涉及到橢圓、直線方程、切線方程、兩點間距離公式、基本不等式等知識點，是中檔題．