兩條直線分別被三個互相平行的平面所截，求證：被截得的線段成比例．如圖，已知平面α∥β∥γ，直線a分別交α、β、γ于A、B、C，直線b分別交α、β、γ于D、E、F．

求證：AB∶DE＝BC∶EF．

答案：
解析：

　　解：當(dāng)a、b共面時，如上圖(1)，設(shè)a、b確定的平面為δ，

　　則AD、BE、CF分別為α、β、γ與δ的交線．

　　由α∥β∥γ，知AD∥BE∥CF．

　　由平行截割定理，知AB∶DE＝BC∶EF(當(dāng)AD、BE、CF中有一條變成一點時，也不影響結(jié)果)．

　　當(dāng)a、b異面時，如上圖(2)，過A作直線c∥b，分別交β、γ于B1、C1．

　　由α∥β，知AB1＝DE．

　　同理B1C1＝EF．

　　設(shè)a、c確定的平面為δ，則BB1、CC1分別是δ與β、γ的交線．

　　由β∥γ，知BB1∥CC1．

　　由平行截割定理，知AB∶AB1＝BC∶B1C1．

　　已知AB1＝DE，B1C1＝EF，故AB∶DE＝BC∶EF．

　　方法歸納：空間問題應(yīng)轉(zhuǎn)化為平面問題解決，線段成比例一般考慮平行截割定理．此題也可以連結(jié)AF，交平面β于M，將其轉(zhuǎn)化為平面問題解決．


提示：

本命題是由平行截割定理擴展來的，因此想到轉(zhuǎn)化為平行截割定理去證．由條件知三個平面互相平行，但原題中沒有平面與它們相交，需作出與它們相交的平面．被截的兩直線可能異面，也可能共面，所以需分類討論．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

矩形ABCD的四個頂點的坐標(biāo)分別為A（-2，1），B（2，1），C（2，-1），D（-2，-1），過原點且互相垂直的兩條直線分別與矩形的邊相交于E、F、G、H四點，則四邊形EGFH的面積的最小值為
 
，最大值為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下列四個命題：①過平面外一點有無數(shù)條直線與這個平面平行；
②過直線外一點可以作無數(shù)個平面與已知直線平行；
③如果一個平面內(nèi)有兩條直線分別平行于另一個平面，那么這兩個平面平行；
④如果兩個平面同時和第三個平面相交，則它們的交線平行．   其中正確的是（　　）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a、b是不重合的兩條直線,α、β,γ是三個兩兩不重合的平面,給出下列四個命題:

①若a⊥α,a⊥β,則α∥β；

②若α⊥γ,β⊥γ,則α∥β；

③若α∥β,,  ,則a∥b;

④若α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,則a∥b.

其中正確的是(　　)

A.①②           B.①③           C.③④           D.①④

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

、、是三個平面,a、b 是兩條直線,有下列三個條件:

①a ∥,b⊂     ②a ∥,b∥  ③b∥,a⊂.如果命題“∩=a, b⊂,且 ________ , 則 a∥b”為真命題, 則可以在橫線處填入的條件是                (    )

(A)①或②            (B)②或③             (C)①或③            (D)②

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案