已知函數(shù)數(shù)學(xué)公式
(Ⅰ)判斷f(x)的奇偶性,并證明你的結(jié)論;
(Ⅱ)若x1≠x2,且f(x1)=f(x2),求f(x1+x2);
(Ⅲ)由點H(0,h)向f(x)引切線,切點分別為P,Q,當(dāng)△PQH為正三角形時,求h的值.

解:(I)f(x)是偶函數(shù),證明如下:
當(dāng)x>0 時,-x<0,有:f(x)=x2+x-2
f(-x)=(-x)2-(-x)-2=x2+x-2=f(x);
當(dāng)x<0 時,-x>0,有:f(x)=x2-x-2
f(-x)=(-x)2+(-x)-2=x2-x-2=f(x);
當(dāng)x=0,也有f(-x)=f(x),
又函數(shù)的定義域為R,關(guān)于原點對稱,∴f(x)是偶函數(shù);
(II)畫出函數(shù)f(x)的圖象,如圖所示,結(jié)合圖象及(I)中結(jié)論可知,
若x1≠x2,且f(x1)=f(x2),則x1和x2關(guān)于原點O對稱,
從而x1+x2=0,∴f(x1+x2)=-2;
(III)如圖,根據(jù)對稱性可知,當(dāng)△PQH為正三角形時,切線PH的傾斜角為60°,
∴其斜率k=
當(dāng)x>0時,f(x)=x2+x-2,∴f′(x)=2x+1,
設(shè)P(m,n),則2m+1=,且m2+m-2=n,
解得:m=,n=-,
故切線PH的方程為:y+=(x-),令x=0得y=
即h=
分析:(I)由已知易判斷出函數(shù)的定義域為R,關(guān)于原點對稱,再判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系,即可根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義,進(jìn)行判斷得到結(jié)論;
(II)畫出函數(shù)f(x)的圖象,如圖所示,結(jié)合圖象及(I)中結(jié)論可知,若x1≠x2,且f(x1)=f(x2),則x1和x2關(guān)于原點O對稱,從而求出f(x1+x2);
(III)如圖,根據(jù)對稱性可知,當(dāng)△PQH為正三角形時,切線PH的傾斜角為60°,求出其斜率k,再結(jié)合導(dǎo)數(shù)幾何意義求出點P(m,n)的坐標(biāo),從而得出切線PH的方程,最后令x=0即可.
點評:本小題主要考查分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法、函數(shù)奇偶性的判斷、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于中檔題.
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(3)若0<m<1,使f(x)的值域為[logmm(β-1),logmm(α-1)]的定義域區(qū)間[α,β](β>α>0)是否存在?若存在,求出[α,β],若不存在,請說明理由.

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