已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0，且a＞1）的右焦點(diǎn)為F（c，0），離心率為e．直線l：y=ex-a與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，M是直線l與橢圓C的一個(gè)公共點(diǎn)．
（1）試用a、b、c表示點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（2）若
AM
=λ
AB
，證明：λ=1-e2．
分析：（1）根據(jù)題意，可得方程組
y=ex+a
x2
a2
+
y2
b2
=1
，解可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（2）由題意知A、B的坐標(biāo)分別是(-
a
e
，0) ，(0，a)，由
AM
=λ
AB
，得(-c+
a
e
，
b2
a
)=λ(
a
e
，a)，由此可解λ=1-e2，即可得證．
解答：解：（1）由
y=ex+a
x2
a2
+
y2
b2
=1
得
x=-c
y=
b2
c
，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（-c，
b2
a
）．
（2）：證明：∵A、B分別是直線l：y=ex+a與x軸、y軸的交點(diǎn)，
∴A、B的坐標(biāo)分別是(-
a
e
，0) ，(0，a)，
由
AM
=λ
AB
，得(-c+
a
e
，
b2
a
)=λ(
a
e
，a)，
即
a
e
-c=λ•
a
e
b2
a
=λa
，解得λ=1-e2．
點(diǎn)評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點(diǎn)P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點(diǎn)F與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且M，N不與橢圓的頂點(diǎn)重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設(shè)過右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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