Question

已知點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，以P為圓心的圓過點(diǎn)A（-1，2）和B（1，4），線段AB的垂直平分線交圓P于C、D兩點(diǎn)，且|CD|=2

10

．
（1）求直線CD的方程；
（2）求圓P的方程；
（3）若直線AB與x軸交于點(diǎn)M，求

MC

•

MD

的值．

Answer 1

分析：（1）由A（-1，2）和B（1，4）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出AB的中點(diǎn)，再根據(jù)垂直關(guān)系求出CD的斜率，最后寫出直線CD的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b），（a＞0，b＞0）設(shè)圓P的方程為（x-a）²+（y-b）²=10，利用條件：A在圓P上等求得a值，最后得到圓P的方程；
（3）直線AB的方程為y-2=x+1，令y=0x=-3得M的坐標(biāo)，設(shè)AB與CD交于點(diǎn)E，由題意AB⊥CD，結(jié)合向量的運(yùn)算即可求得

MC

•

MD

的值．

解答：解：（1）∵A（-1，2）和B（1，4）
∴AB的中點(diǎn)為（0，3），∴k_AB=1
∵AB⊥CD∴k_CD=-1---------（2分）
∴直線CD的方程為y=-x+3，即  x+y-3=0---------（4分）
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b），（a＞0，b＞0）
∵|CD|=2

10

，∴圓P的半徑為

10

∴圓P的方程為（x-a）²+（y-b）²=10---------（5分）
∵A在圓P上，∴（a+1）²+（b-2）²=10
∵P在CD上，∴b=3-a，---------（9分）
∴（a+1）²+（1-a）²=10
∴a=±2∵a＞0
∴a=2
∴圓P的方程為  （x-2）²+（y-1）²=10--------（11分）
（3）直線AB的方程為y-2=x+1，即x-y+3=0
令y=0x=-3得∴M （-3，0）--------（12分）
設(shè)AB與CD交于點(diǎn)E，由題意AB⊥CD，
∴

ME

•

CE

=0，

ME

•

ED

=0-------（13分）
∴

MC

•

MD

=(

ME

+

EC

)•(

ME

+

ED

)=|

ME

|2+

EC

•

ED

=|

ME

|2+|

EC

|•|

ED

|cos180°
∵ME=

|-3-0-3|

2

=3

2

，PE=2

2

，
∴

EC

•

ED

=2，∴

MC

•

MD

=18-2=16-------（16分）

點(diǎn)評：本題主要考查直線與圓的方程的求解，考查向量在幾何中的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．