Question

已知點(diǎn)E（2，1）和圓O：x²+y²=16．
（Ⅰ）過(guò)點(diǎn)E的直線l被圓O所截得的弦長(zhǎng)為2

15

，求直線l的方程；
（Ⅱ）若△OEM的面積S_△OEM=2，且M是圓O內(nèi)部第一、二象限的整點(diǎn)（平面內(nèi)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)），求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分直線的斜率存在和不存在分析，斜率不存在時(shí)直接求解弦長(zhǎng)，斜率存在時(shí)設(shè)出直線方程，由圓的半徑，弦長(zhǎng)求出弦心距，再由點(diǎn)到直線的距離公式求斜率；
（Ⅱ）分M在過(guò)E與x軸垂直的直線上和不垂直的直線上討論，直線垂直于x軸時(shí)易求得M的坐標(biāo)，當(dāng)斜率存在時(shí)設(shè)出M的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)式寫出過(guò)M，E的直線方程，求出O到ME的距離及ME的距離，代入面積公式得到M的橫縱坐標(biāo)的關(guān)系，在根據(jù)M在圓內(nèi)求得M的坐標(biāo)．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線方程為x=2，
代入x²+y²=16，解得y=±2

3

，
直線被圓截得的弦長(zhǎng)為4

3

，不滿足題意；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y-1=k（x-2），
即kx-y-2k+1=0．
∵圓O：x²+y²=16的半徑等于4，直線l被圓O所截得的弦長(zhǎng)為2

15

，
∴圓心O到直線l的距離為d=

42-( 15 )2

=1．
由點(diǎn)到直線的距離公式得：

|-2k+1|

k2+1

=1，
解得：k=0或k=

4

3

．
分別把k代入kx-y-2k+1=0，
得直線方程為：y=1或4x-3y-5=0；
（Ⅱ）當(dāng)M在過(guò)E點(diǎn)，且垂直于x軸的直線上時(shí)，O到ME所在直線的距離為2，要使△OEM的面積等于2，
則|ME|=2，
∴M（2，3）滿足條件；
當(dāng)M在過(guò)E點(diǎn)且斜率存在的直線上時(shí)，
設(shè)M（x₀，y₀）．
過(guò)M、E的直線方程為：

y-1

y0-1

=

x-2

x0-2

，
整理得：（y₀-1）x-（x₀-2）y+（x₀-2）-2（y₀-1）=0．
|ME|=

(x0-2)2+(y0-1)2

，O到ME所在直線的距離d=

|x0-2y0|

(x0-2)2+(y0-1)2

．
由S△OME=

1

2

•

(x0-2)2+(y0-1)2

•

|x0-2y0|

(x0-2)2+(y0-1)2

=

1

2

|x0-2y0|=2，得|x₀-2y₀|=4．
∴y0=

x0

2

±2．
要使M（x₀，y₀）表示整點(diǎn)，則x₀=±2．
當(dāng)x₀=2時(shí)，兩點(diǎn)式方程不成立．
故當(dāng)x₀=-2時(shí)，y₀=1符合題意．
綜上，符合條件的M的坐標(biāo)為：（-2，1），（2，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是中高檔題．