Question

己知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1+（-1）ⁿa_n=n，（n∈N^*），則數(shù)列{a_n}的前2016項(xiàng)的和S₂₀₁₆的值是

 

．

Answer 1

分析：由于數(shù)列{a_n}滿足a_n+1+（-1）ⁿa_n=n，可得從第一項(xiàng)開始，依次取2個相鄰奇數(shù)項(xiàng)的和都等于1，從第二項(xiàng)開始，依次取2個相鄰偶數(shù)項(xiàng)的和構(gòu)成以5為首項(xiàng)，以9為公差的等差數(shù)列，從而可求數(shù)列{a_n}的前2016項(xiàng)的和S₂₀₁₆的值

解答：解：由于數(shù)列{a_n}滿足a_n+1+（-1）ⁿa_n=n，故有a₂-a₁=1，a₃+a₂=2，a₄-a₃=3，a₅+a₄=4，a₆-a₅=5，a₇+a₆=6，…．
從而可得a₃+a₁=1，a₄+a₂=5，a₃+a₅=1，a₄+a₆=9，a₇+a₅=1，a₈+a₆=14，…
從第一項(xiàng)開始，依次取2個相鄰奇數(shù)項(xiàng)的和都等于1，
從第二項(xiàng)開始，依次取2個相鄰偶數(shù)項(xiàng)的和構(gòu)成以5為首項(xiàng)，以9為公差的等差數(shù)列．
∴數(shù)列{a_n}的前2016項(xiàng)的和S₂₀₁₆=1008+5×1008+

1008×1007

2

×9=1017072．
故答案為：1017072．

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列求和的方法，等差數(shù)列的求和公式，注意利用數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，屬于中檔題．