Question

若不等式x²-2ax+a＞0對x∈R恒成立，則關于t的不等式a^2t+1＜a^t2+2t-3的解集為   

Answer 1

【答案】分析：由不等式x²-2ax+a＞0對x∈R恒成立，我們可以得到0＜a＜1，則我們可以根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將不等式a^2t+1＜a^t2+2t-3轉(zhuǎn)化成一個關于t的整式不等式，解不等式即可得到不等式a^2t+1＜a^t2+2t-3的解集．
解答：解：∵若不等式x²-2ax+a＞0對x∈R恒成立
∴△=4a²-4a＜0
即0＜a＜1
此時，y=a^x為減函數(shù)
又∵a^2t+1＜a^t2+2t-3
∴2t+1＞t²+2t-3
即t²-4＜0
解得-2＜t＜2
故不等式a^2t+1＜a^t2+2t-3的解集為（-2，2）
故答案為：（-2，2）
點評：函數(shù)y=a^x和函數(shù)y=log_ax，在底數(shù)a＞1時，指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)在其定義域上均為增函數(shù)，當?shù)讛?shù)0＜a＜1時，指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)在其定義域上均為減函數(shù)，故我們可以根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，將指數(shù)不等式或?qū)��?shù)不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式．